从一圈温度，到一串频率

热没消失，细碎的温差先消失

周长 1 m 的均匀细环，侧面绝热、无内热源，两端是同一点。初始温度为 50 + 20 cos(2πx) + A₃ cos(6πx) ℃。扩散率是教学参数，不冒充金属实测。

一次演示用 8 秒呈现 10 秒模型时间，可暂停、拖动、重播。实线是当前温度，虚线是同参数的初始温度；温度不是随空间曲线弯曲的实物形状。

1. 先拖到 0.5 s：三阶的细波先明显减弱，一阶的宽起伏还在。
2. 再拖到 10 s：均温仍是 50 ℃。环没有与环境交换热，不是所有温度一起降到 0。
3. 时间保持不变，增大 α：变化更快。把三阶振幅设为 0，单独看一阶的指数衰减。

波形、频率、相位，分别保存什么？

g(t) = cos(2π·8t) + ½ cos(2πf₂t + φ)。信号值无量纲；采样率 128 Hz，取 t = j/128 s，j = 0…127。记录时长按 N/fₛ = 1 s 计算，不重复采最后端点。

1. 默认截止 12 Hz：保留 8 Hz，删除 20 Hz。把截止调到 64 Hz，完整反变换应回到原样本。
2. 恢复默认后改相位：波形变了，两个峰的振幅不变。这条结论针对默认整周期频率。
3. 试 20.5 Hz：它不落在 1 Hz 的格点上，有限记录窗引起频谱泄漏，不是突然多出了许多真实信号源。

实际计算是直接 DFT 求和与逆 DFT，不是预画两根柱子，也不是借机声称实现 FFT。单边振幅 = 2|Xₖ|/N；直流与偶数 N 的奈奎斯特项除外。滤波保留复系数及其共轭对；这里是对有限记录作周期解释的理想硬截止，不是实际设备的完整滤波器。