变分法，到底在“变”什么？

有些数学名词，第一次听就像有一道门。

“变分法”就是其中一个。

你在最速下降、悬链线、光的折射、拉格朗日力学里反复遇见它，好像到哪里都能用；可一看公式，又觉得自己只是在围墙外面转圈。

这次我们从最小的问题开始：

普通求导是在改一个数。变分法，是在改什么？

先给答案：它通常把一整条候选函数当作可改变的对象，再问某个“全程评分”能不能达到驻定或最优。

不是让公式自己发生变化，也不是把“微分”改个名字。

哈密顿那句“科学诗篇”倒是很适合作为入口。1834 年，他在动力学论文引言中赞赏拉格朗日：许多不同的运动结果，可以从一个基本公式导出；方法的美与结果的分量相称，使其著作成为 “a kind of scientific poem”。

原话确实在《动力学的一般方法》原文转录中，都柏林圣三一学院档案也提供论文 PDF。这里把短语译作“某种科学的诗篇”，不是给变分法补上一条神秘定律。

这篇文章的任务，是把这份统一性拆成几步，让我们真的看见它怎样工作。

这套工具也不是某个人突然写出一个公式就完成的。欧拉在 1744 年出版的变分法著作中系统处理了一般的极值曲线问题；1755 年，19 岁的拉格朗日又向欧拉介绍新的极值方法，次年把相关结果用于力学。MacTutor 的拉格朗日传记记录了这段往来。

1. 函数给一个值，泛函给整条曲线打分

普通函数很熟悉：

\[f(x)=x^2.\]

输入 (x=0.5)，输出 (f(0.5)=0.25)。你给它一个数，它回你一个数。

但如果问题是“从 A 到 B 哪条路线最短”，给一个 (x) 不够。

你必须交出一整条路线，才能算总长度。

图 1：先看上面的单点，再看下面从 A 到 B 的完整线。上面只读一个函数值，横纵轴分别缩放便于读数；下面必须看完整路径，才能得到总长。下图等比例，坐标与长度数值采用无量纲教学例子。

对于能写成 (y=y(x)) 的平面曲线，弧长是：

\[\ell[y]=\int_a^b\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^2}\,dx.\]

为什么出现平方根？

因为很短的一段曲线，长度近似为

\[ds=\sqrt{dx^2+dy^2} =\sqrt{1+(y')^2}\,dx.\]

这里沿 (x) 增大的方向积分；把这些小段相加，就是全程长度。

记号 (\ell[y]) 的方括号提醒我们：输入不是一个位置数字，而是整条函数 (y(x))。

这种“接收函数、输出一个数”的评分规则，叫 泛函。

名字听着抽象，任务却很具体：给一条路线算长度，给一个链形算势能，给一段运动算作用量。

一个重要区别是：同一条曲线，换一个评分规则，就可能得到不同的最优问题。 距离最短、时间最少、能量最低，并不是三个可以互换的说法。

2. “改整条曲线”，到底怎样改？

先选择一条基线。本文前半部分都用无量纲坐标，固定

\[y(0)=0,\qquad y(1)=1.\]

最简单的基线是 (y(x)=x)。

现在，不是把所有点胡乱推来推去，而是选一份“改动形状”：

\[\eta(x)=\sin(\pi x).\]

它在两端为零，中间鼓起。再乘一个小数 (\varepsilon)，加到基线上：

\[y_\varepsilon(x)=y(x)+\varepsilon\eta(x).\]

这里有两个角色，不要混淆：

(\eta(x)) 决定“哪些地方怎样改”，(\varepsilon) 决定“改动有多大”。

图 2：先看上方的改动模板，再看下方三条候选。正的 (\varepsilon) 把曲线鼓起，负的把它压下；两端始终不动，因为 (\eta(0)=\eta(1)=0)。五秒演示只改变这族函数，不模拟物体沿线运动。

单独打开小扰动演示。刷新可重播；播放一次后停回基线。静态的正、负候选始终保留，启用“减少动态效果”也能比较。

比如取 (\varepsilon=0.2)。在 (x=0.5) 处，(\eta=1)，所以 (y) 从 0.5 变成 0.7；在两端，(\eta=0)，所以位置不变。

但这只是一种改法。你也可以用 (\sin(2\pi x))，或者只在某个小区间鼓起的光滑函数。

要找驻定曲线，不是只对一份改动模板过关，而是要对所有允许的改动方向过关。

“允许”也有条件：曲线要具有所需的光滑性、满足端点与其他约束。不是任意一条涂鸦都能拿来代入。

3. 第一变分：沿一种改法，先做一次普通求导

先不用弧长的平方根，换一个算起来更清楚的教学评分：

\[J[y]=\int_0^1\bigl(y'(x)\bigr)^2\,dx.\]

它把各处坡度的平方相加。陡一点会被平方加重，所以它偏好不要把变化全挤在少数位置。

这不是曲线长度，也不自动是物理能量。 此处各量无量纲；我们只是选了一把容易算、也很有用的数学尺子。

把 (y_\varepsilon=x+\varepsilon\sin(\pi x)) 代入：

\[y_\varepsilon'=1+\varepsilon\pi\cos(\pi x).\]

平方后积分。余弦的一次项积分为零，余弦平方在这个区间的积分为 (1/2)，得到：

\[J[y_\varepsilon] =1+\frac{\pi^2}{2}\varepsilon^2.\]

整条曲线的评分，现在暂时变成了一个普通函数：

\[\phi(\varepsilon)=J[y+\varepsilon\eta].\]

于是我们可以像平常一样问：在 (\varepsilon=0)，它的导数是多少？

\[\phi'(0)=0.\]

这就是沿当前扰动方向的第一变分。更明确地写：

\[\delta J[y;\eta] =\left.\frac{d}{d\varepsilon} J[y+\varepsilon\eta]\right|_{\varepsilon=0}.\]

不要把 (\delta J) 与整个有限改动混在一起。在相应可微条件下：

\[J[y+\varepsilon\eta]-J[y] =\varepsilon\,\delta J[y;\eta]+o(\varepsilon).\]

(o(\varepsilon)) 表示除以 (\varepsilon) 后趋于零的更小项。第一变分抓住的是一阶的变化率，不是声称评分完全不变。

图 3：横轴不是位置，而是改动幅度 (\varepsilon)。上图从直线出发，评分在零处变平；下图从弯曲基线出发，稍取负幅度就能降分。纵轴画的是 (J-1)，不是 (J) 本身。

注意两个“零”的区别：

第一变分为零，不等于泛函值为零。 上面的直线评分是 1，只是它的一阶变化为零。

换一条弯曲基线：

\[y(x)=x+0.2\sin(\pi x).\]

沿同一个 (\eta=\sin(\pi x)) 改动，评分变成

\[\phi(\varepsilon) =1+\frac{\pi^2}{2}(0.2+\varepsilon)^2.\]

它在零处的导数为 (0.2\pi^2\approx1.974)，不为零。稍取负的 (\varepsilon)，就能把那份多余的鼓起压小，降低评分。

只试一种改法，还不算证明

直线对正弦扰动过关，能不能就宣布“找到了答案”？

不能。那只证明一个方向的一阶变化为零。

不过，本例可以直接证明对全部允许曲线，它真的是全局最低。利用固定端点：

\[\begin{aligned} J[y] &=\int_0^1\bigl[1+(y'-1)\bigr]^2dx\\ &=1+\int_0^1(y'-1)^2dx. \end{aligned}\]

中间的一次项消失，是因为 (\int_0^1(y’-1)dx=y(1)-y(0)-1=0)。

平方不可能为负，所以 (J[y]\ge1)。对于这里的光滑曲线，等号只有在 (y’=1)、也就是 (y=x) 时成立。

这才是一个覆盖所有允许曲线的证明，不是“画了几条线，看起来都比它差”。

驻定，也不总是最小

一般问题中，第一变分为零只是必要条件；它可能给出极小、极大，或者不是极值的驻定解。找最优时还要检查二阶变化、凸性或其他证据。

甚至普通函数 (f(x)=x^3) 在零处导数为零，却不是极小值。

上一篇分析力学文章给出的弹簧作用量例子更直接：真实静止解附近，有的候选作用量更小，有的更大。不能把“驻定作用量”一概翻译成“自然永远选最小”。

4. 欧拉—拉格朗日方程，怎样从这些改动里长出来？

现在把教学评分换成一般形式：

\[J[y]=\int_a^b F(x,y,y')\,dx.\]

(F) 是每一小段的评分规则，可以依赖当前位置 (x)、函数值 (y) 和坡度 (y’)。这里先讨论一条足够光滑的函数、固定两个端点，以及足够光滑的 (F)。

弧长问题取 (F=\sqrt{1+(y’)^2})；前面的坡度账取 (F=(y’)^2)。

推导只需四步。核心结构可在 MIT 分析力学讲义第一章第 1.5 节核查。

第一步：函数值和坡度都一起改变

若 (y_\varepsilon=y+\varepsilon\eta)，那么

\[y_\varepsilon'=y'+\varepsilon\eta'.\]

所以一阶变化有两份：

\[\delta J =\int_a^b \left( \frac{\partial F}{\partial y}\eta +\frac{\partial F}{\partial y'}\eta' \right)dx.\]

计算偏导时，把 (x,y,y’) 暂时作为 (F) 的不同输入；这是计算规则，并不是说实际曲线的高度与坡度互不相关。

第二步：把扰动的导数搬走

第二项有 (\eta’)。做积分分部：

\[\begin{aligned} \int_a^b\frac{\partial F}{\partial y'}\eta'\,dx &=\left[ \frac{\partial F}{\partial y'}\eta \right]_a^b\\ &\quad-\int_a^b \frac{d}{dx}\left( \frac{\partial F}{\partial y'} \right)\eta\,dx. \end{aligned}\]

这一招的意义是：把所有扰动都整理成“某个系数乘 (\eta)”的同一种形式。

第三步：固定端点，让边界项消失

因为允许的扰动满足 (\eta(a)=\eta(b)=0)，方括号那一项为零。

于是：

\[\delta J =\int_a^b \underbrace{\left[ \frac{\partial F}{\partial y} -\frac{d}{dx} \left(\frac{\partial F}{\partial y'}\right) \right]}_{R(x)} \eta(x)\,dx.\]

把方括号叫作残差 (R(x))：它衡量候选曲线在局部有没有满足所需的条件。

第四步：为什么积分为零，会要求系数处处为零？

如果只给你一个特定的 (\eta)，正负面积可能碰巧抵消。

但要求是：对所有允许的 (\eta)，积分都为零。

如果连续的 (R) 在某个小区间是正的，就挑一个只在那个区间起作用、也是正的光滑扰动。乘积积分就会大于零，不可能为零。若 (R) 是负的，同样可以挑相应扰动。

因此，在这些条件下，只能有 (R(x)=0)。这就是变分基本引理的直觉核心。

图 4：从上往下看：残差有一段为正，就把扰动放在那里，再把两者相乘。本例的积分约为 0.070620，大于零；沿负的扰动幅度可降低评分。三幅纵轴分别缩放，不能直接比较图形高度；面积数值按原公式计算。

图中的残差来自前面的弯曲基线 (y=x+0.2\sin(\pi x))，此时 (R=-2y’’)。扰动只在 (0.3<x<0.7) 起作用，峰值为 0.1，且足够光滑。不是凭目测涂了一块“正面积”。

把 (R=0) 写回去：

\[\boxed{ \frac{\partial F}{\partial y} -\frac{d}{dx} \left(\frac{\partial F}{\partial y'}\right)=0. }\]

这就是欧拉—拉格朗日方程。整体乘以负号，是同一条方程。

整条曲线的评分驻定，经过积分分部，变成每一个位置必须满足的微分方程。

没有从“有限次试验”跳到“一般结论”。关键正是“对所有局部扰动都成立”。

5. 同一条方程，为什么还要认真交代端点？

先用欧拉—拉格朗日方程回到真正的最短曲线：

\[F=\sqrt{1+(y')^2}.\]

它不显含 (y)，所以方程给出

\[\frac{d}{dx} \left(\frac{y'}{\sqrt{1+(y')^2}}\right)=0.\]

括号必须是常量，由此 (y’) 是常量。因此候选驻定线是直线。

固定 ((0,0)) 与 ((1,1))，就选出 (y=x)。它确为全局最短，还可以用向量三角不等式证明，而不是仅凭驻定就下结论。

但如果你悄悄把终点条件换了呢？

图 5：先看上方固定的 B，再看下方可滑动的末端。不是同一道题有两个互相矛盾的答案，而是允许候选的集合变了。两图等比例。

现在仍固定起点 A，只要求终点横坐标为 1，让终点的纵坐标可以改变。

内部方程仍然说“直线”。但最短的，是从 A 水平走到竖直边界，长 1；不是走到原先 B 的斜线。

为什么变分法能知道末端应该水平？

因为这次末端的 (\eta(1)) 不必为零，之前丢掉的边界项不能再丢。驻定条件要求

\[\left.\frac{\partial F}{\partial y'}\right|_{x=1}=0,\]

也就是 (y’(1)=0)。这叫这个问题的自然边界条件。

更一般的滑动边界要做相应处理，不能都套用这一个式子。

所以遇见一个变分问题，至少要先问清：评分是什么，允许改什么，两端和其他条件是什么。

只背内部方程，就像拿着导航，却不告诉它目的地到底能不能换。

6. 光的折射：要改的是整条路，为什么只剩一个交点？

接下来换一把尺子：不再算长度，而是算传播时间。

在理想的均匀、无色散介质里，光速为 (v=c/n)，(n) 是折射率。

光从 A 到界面，再到 B。每种介质内部的最短时间段是直线，因此在这个简单的平界面问题里，可以把候选压缩成一个交点 (u)。

这不是变分法退化了，而是先利用了均匀区域的结构，把无限多的选择简化了。

设 A 在 ((0,1)) 米，B 在 ((1,-1)) 米，界面为 (y=0)。两介质折射率取 (n_1=1)、(n_2=1.5)。

若交点为 ((u,0))，时间为：

\[\begin{aligned} \mathcal T(u) &=\frac{n_1}{c}\sqrt{1+u^2}\\ &\quad+\frac{n_2}{c}\sqrt{1+(1-u)^2}. \end{aligned}\]

式子里的位置数值按米代入，各段根号表示米数；再除以各段速度，结果是秒。

时间驻定要求：

\[n_1\frac{u}{\sqrt{1+u^2}} =n_2\frac{1-u}{\sqrt{1+(1-u)^2}}.\]

左、右两项里的分式，分别就是对界面法线量出的角度的正弦。因此：

\[n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2.\]

斯涅尔折射定律出来了。

图 6：先看金色虚线的几何直路，再比较蓝色折线的时间账。蓝线稍长，却在此模型中用时最少，因为两种介质的速度不同。角度都对法线量，图中横纵等比例；金、灰线只是比较用的候选，不是同时存在的三条实际折射线。

数值结果为 (u\approx0.6232) 米，时间约 9.277 纳秒。几何直线的交点是 (u=0.5) 米，虽然距离最短，却要约 9.323 纳秒；交点取 0 米的候选要约 10.412 纳秒。

这个时间函数的二阶导数始终为正，因此这里确实有唯一的全局最小，不是只找出一个“斜率为零”的点便宣布最优。

费马原理的一般准确表述是传播时间对允许光路变化驻定，不保证每种光学系统都在取最小值，也不是光提前思考了哪里更快。费马原理条目说明了这一限定；OpenStax 折射教材可核对光速、折射率和角度约定。

7. 悬链线：如果链长固定，扰动就不能随便来

再换一把尺子：算重力势能。

一根均匀柔链，两端固定，只受自身重量。在理想静力模型中，它的平衡形状可以从固定链长下的势能极小来寻找。

令 (y) 向上为正，(w) 为每米链的重量，单位牛顿/米。链形写作 (y(x))，则

\[U[y]=\int_a^b wy\sqrt{1+(y')^2}\,dx.\]

(wy\,ds) 是小链段的重力势能，单位焦耳。

但还必须满足总长固定：

\[C[y]=\int_a^b \sqrt{1+(y')^2}\,dx =\ell_0.\]

这一次，“端点不动”还不够。改动也不能让链凭空变长。

图 7：先看三条曲线共享端点，再看下面的长度账。过短的直线与更长的深抛物线都不符合给定链长，不能拿它们的势能直接判输赢。横跨 2 米，纵向相对横向略缩放。

图中蓝色悬链线的长度约为 2.350402 米；同端点直线只有 2 米，构造的更深抛物线长约 2.957886 米。曲线由脚本计算，具体的悬链线方程留在原文解释，这里先抓住“总长必须相同”。

“更低”不等于“同一根链可以做到”。比较对象首先要合法。

拉格朗日乘子，怎样帮忙记住链长？

构造一个增广评分：

\[\widetilde J[y,\lambda] =U[y]+\lambda\bigl(C[y]-\ell_0\bigr).\]

这里 (\lambda) 是需要求出的常数乘子，单位为牛顿，才能让 (\lambda C) 与势能同为焦耳。

它不是随意挑一个“罚款力度”，然后希望误差大概不大。对 (\lambda) 的驻定条件直接要求 (C[y]=\ell_0)；对 (y) 的驻定条件则给出增广被积函数的欧拉—拉格朗日方程：

\[\widetilde F=(wy+\lambda)\sqrt{1+(y')^2}.\]

链形、乘子与边界条件一起求，才是这个受约束问题。

为什么是常数？因为这里限制的是一项全局总长度。若约束在每一时刻或每个位置各有一条，乘子可能要成为相应变量的函数，不能一概照抄。

求出的形状是悬链线；具体的受力推导、双曲函数与桥缆载荷区别，见悬链线文章。

变分法并没有替我们取消物理条件。恰恰相反，它要求把条件写得更清楚。

8. 为什么换成时间，它就能组织拉格朗日力学？

前面的变量 (x) 是空间坐标，未知的是形状 (y(x))。

现在把变量换成时间 (t)，未知的是整段运动 (q(t))。评分改成作用量：

\[S[q]=\int_{t_0}^{t_1} L(q,\dot q,t)\,dt.\]

对于本文这类保守机械系统，(L=K-U)，其中 (K) 是动能，(U) 是势能。作用量的单位是焦耳·秒。

不是把势能积分一下就得到所有运动，也不是始终要求作用量最小。

固定起、终时刻及位置，选择满足两端为零的扰动 (\eta(t))，重复前面的四步：

链式求导，积分分部，消去固定端点的边界项，再利用所有局部扰动。

同一个结构，给出：

\[\boxed{ \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial\dot q}\right) -\frac{\partial L}{\partial q}=0. }\]

这次的导数是对时间，而不是对空间坐标。

图 8：先比较上方两种积分，再看下面的时间—位移图。蓝线是向下位移 (q=gt^2/2)，金虚线只是候选函数，不必满足运动方程；纵轴的数值增加向上画，不代表球在空间中向上爬。

例如，自由落体把向下位移 (q) 取为正，势能为 (U=-mgq)，因此

\[L=\frac12m\dot q^2+mgq.\]

代入统一方程：

\[m\ddot q-mg=0,\]

得到 (\ddot q=g)。从静止释放、令 (q(0)=0)，就是 (q(t)=gt^2/2)。

而单摆只要换成前一篇的

\[\begin{aligned} L&=K-U\\ &=\frac12ml^2\dot\theta^2-mgl(1-\cos\theta), \end{aligned}\]

同一个运算规则就得到

\[\ddot\theta+\frac{g}{l}\sin\theta=0.\]

自由落体、单摆、双摆、刚体，坐标和能量表达式各不相同；但在适用的模型中，列方程的核心结构可以保持一致。

这才是“科学诗篇”背后的统一性。

固定两端比较运动，是数学刻画，不是物体预知未来。实际预测仍要给出初始位置、速度等条件，从运动方程中选出具体运动。

另外，有摩擦、非完整约束或其他不满足当前假设的作用时，要采用合适的广义力、达朗贝尔原理或进一步的形式，不能仅把一切塞进简单的 (K-U) 就结束。

9. 为什么这么多地方都会遇到变分法？

因为不同问题常有相同的数学骨架：

要选择的对象是一整条函数；有一个依赖全局的评分；候选还要满足规定的条件。

如果只看外观，绳子、光线、运动轨迹像三种东西。看评分结构，它们却能共享许多运算。

这也不只限于一条曲线。未知量可以是薄膜在每个位置的高度、场在空间中的分布。变量从一个变成多个，变分方程往往也会从常微分方程走向偏微分方程。

数据平滑中也有类似思想。一个无量纲的连续玩具模型，可以把“贴近已有数据”与“不要过于陡变”相加：

\[J[y]=\int_a^b \left[(y-d)^2+\alpha(y')^2\right]dx.\]

这里 (d(x)) 是给定数据函数，(\alpha>0) 是模型选定的平滑权重，不是前面用于强制等长的拉格朗日乘子。

内部驻定方程是

\[y-\alpha y''=d.\]

但还要规定边界条件，才能把这变成完整的问题。离散数据的算法需另行离散化；不能因此说所有机器学习都在直接求这条连续方程。

变分法也不是万能钥匙。一个评分可能没有最优解，驻定解可能不是最小，约束可能让问题很难，方程也可能只能数值求解。

它的价值，是把一句含糊的“想要最好”，改写成可以核查的问题。

下次看到“利用变分法可得”，不妨先在心里把这句话展开：

究竟改哪条函数？用什么打分？哪些改动合法？是不是对所有允许扰动的一阶变化都为零？找出驻定以后，有没有证据证明它真的最优？

这些问题问清楚，门就打开了一大半。

参考资料与图解说明

1. 哈密顿，1834 年《动力学的一般方法》档案及原文 TeX 转录：实际阅读引言，核对 “a kind of scientific poem” 的原话和上下文；论文刊于《皇家学会哲学汇刊》1834 年第二部分，第 247—308 页，不是把后人转述当成原始引文。
2. MIT OCW，分析力学第一章：实际阅读 PDF 第 1.5 节，支持泛函、固定端点扰动、积分分部、欧拉—拉格朗日方程及乘子方法；其作用量部分也说明与力学的联系。
3. Euler Archive，E65：欧拉 1744 年变分法著作：支持从特殊极值曲线问题走向一般方法的历史背景。档案区分 1743 年写作与 1744 年出版，不能混为一个年份。
4. 圣安德鲁斯大学 MacTutor：拉格朗日：支持 1755 年致欧拉的极值方法、1756 年应用于力学，以及这一统一方法的发展背景。
5. OpenStax《大学物理》第三卷：折射：支持 (v=c/n)、斯涅尔定律与角度对法线测量。正文的坐标、交点和纳秒数值是原创计算。
6. Fermat’s principle，英文维基百科：作为辅助概念核对，支持一般情形应表述为时间驻定，以及不能赋予光“预知路线”的意图。没有转载条目中的图形。

八幅 SVG 均为原创，由 tools/generate_variations_visuals.py 生成。脚本核对坡度积分、两种曲线弧长、第一变分、局部扰动的积分、固定与自由端点的几何关系、折射角与传播时间、链长，以及自由落体作用量的变化。

唯一的五秒演示是整条曲线随扰动参数变化，不表示真实物体运动。它播放一次后停在基线，正、负候选始终保留，并响应 prefers-reduced-motion: reduce；静态图、数值和推导不依赖动画。