白天做法官，业余难倒数学家：费马的故事

如果你的同事白天处理法律文书，下班后突然给你寄来一封信：

这个数学问题，我已经解决了。你也试试。

你认真算了几个星期，依然毫无头绪。再追问证明，他却只给一点提示，顺手又寄来一道新题。

你大概会想：这人究竟是来交流的，还是来折磨人的？

十七世纪的欧洲数学家，对这种体验并不陌生。寄信的人叫皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat），主业是法国图卢兹的一名司法官员，却在数学史上留下了一个格外响亮的称号：

“业余数学家之王”。

这不是官方头衔。“业余”也不是说他水平普通，而是说数学不是他的本职。他的数学成就，足以让许多职业研究者仰望。

最出名的故事，当然是那句“我有一个美妙的证明，可惜页边太小”。但如果只记住这句，未免低估了他：费马还研究过质数的余数、两个平方数的秘密、光为什么折弯，以及一场没打完的赌局到底该怎么分钱。

今天，我们不把他供成一位永远正确的天才。就跟着这位爱寄挑战信的法官，看看他的几次“业余出手”，究竟厉害在哪里。

图 1：费马肖像，François de Poilly 作。图片下载自 Wikimedia Commons 文件页，该页以公有领域作品标注。后面的四幅数学示意图（含一幅动画）为本文原创绘制。

一、他的主业不是大学教授，朋友圈却全是数学高手

费马在十七世纪初出生于法国西南部，后来学习法律。1631 年，他进入图卢兹的 Parlement 任职，并在此后的职业生涯中担任司法职务。

这里的 Parlement 不是今天意义上的民选议会，而是当时的高等法院。所以，与其想象他在议会席上投票，不如想象他在法院系统里处理案件和文书。[1]

不过，他不是一个完全不与外界接触、只靠灵感独自算题的人。

费马与梅森、笛卡尔、帕斯卡、惠更斯等人通信。没有互联网的年代，信件就是数学家的讨论区：寄一个问题过去，过些日子收到反驳、解法，或者另一个更难的问题。

费马尤其喜欢“出题挑战”。一些通信对象确实觉得，他把结论说得太快，把方法交代得太少。但“他从来不写证明”又说过头了：他曾向同行寄送关于极值、切线等问题的方法，也留下了无穷递降的论证。更准确的说法是：

他没有把许多成果整理成完整、公开出版的论文，常通过通信、手稿和书页批注传播思想。

这让他的成果像散落在不同抽屉里的宝物，也让后人不得不反复辨认：哪些是他已经证明的？哪些只是极有把握的猜想？

第一站，先看一个我们真的能跟着证明的定理。

二、费马小定理：把余数洗一遍牌，会发生什么？

很多人听过“费马大定理”，却不知道还有一个“小定理”。

它不小气，只是名字比较谦虚：

如果 (p) 是质数，整数 (a) 不是 (p) 的倍数，那么 (a^{p-1}) 除以 (p)，余数一定是 1。

数学上写作：

\[a^{p-1}\equiv1\pmod p.\]

这里的 (\pmod p)，可以理解成“只看除以 (p) 的余数”。比如 (15\equiv1\pmod7)，意思是 15 和 1 除以 7 的余数相同。

拿 (p=7,\ a=3) 试试：

\[3^6=729=7\times104+1.\]

巧合吗？费马的结论说：质数换成 11、13、17……只要满足条件，规律仍然成立。他在 1640 年的通信中提出了这个结果。[2]

不用算大数，也能看懂一个证明

把模 7 的非零余数排出来：

1  2  3  4  5  6

每个数乘以 3，再除以 7 取余：

3  6  2  5  1  4

发现了吗？一个数没少，也没有重复，只是换了顺序。

图 2：乘以一个非零余数，在质数模数下会把全部非零余数重新排列。这个“洗牌”性质，是小定理的一条简洁证明思路；这里不是复原费马本人的证明。

如果乘出来的两张“牌”相同，比如 (3i\equiv3j\pmod7)，就意味着 7 整除 (3(i-j))。7 是质数，又不整除 3，所以只能整除 (i-j)。而 (i,j) 都在 1 到 6 之间，因此只能是同一张牌。

把上下两排各自全部相乘，余数当然相同：

\[3^6(1\times2\times3\times4\times5\times6) \equiv 1\times2\times3\times4\times5\times6 \pmod7.\]

两边的括号都不含因子 7，可以在模 7 的意义下约去，于是：

\[3^6\equiv1\pmod7.\]

把 7 换成任意质数 (p)，把 3 换成不被 (p) 整除的整数 (a)，同一套思路仍然有效。

原来，那条看起来突然降临的幂次规律，背后是一场不会丢牌的乘法洗牌。

它和今天的网络加密，究竟有什么关系？

费马当然没有预见手机支付。但他研究的模运算，后来确实进入了现代密码学。

以 RSA 为例：它使用两个大质数构造模数，通过模幂运算实现加密或签名。为何一组指数运算能被另一组指数运算“还原”，可用费马小定理及其推广、配合中国剩余定理来解释。

不过，这里要把两件事分开：

小定理帮助说明算法为什么算得回来；它本身不保证攻击者算不出来。 RSA 的安全性还涉及大整数计算的困难性、密钥长度、填充方案和实现质量。[3]

也不能说“所有 HTTPS、网银或手机支付都在用 RSA”。现代系统还可能采用椭圆曲线等其他公钥机制，并结合对称加密。费马的小定理，是现代数学工具箱里的重要工具，不是全网唯一的一把锁。

另一个反转是：通过小定理的检查，不代表一定是质数。

例如 (341=11\times31) 明明是合数，却满足

\[2^{340}\equiv1\pmod{341}.\]

这类“伪装成质数”的数，提醒我们：定理的正向成立，不等于反过来也成立。

三、平方和定理：为什么 41 能拆，43 却不行？

费马特别喜欢问整数“能不能”：

能不能拆成两个平方？能不能写成两个立方？看起来相似的数，为什么一个行，另一个死活不行？

看看下面这组：

\[5=1^2+2^2,\qquad 13=2^2+3^2,\qquad 41=4^2+5^2.\]

再试 3、7、11、19、43。你会发现，这些质数不能写成两个整数的平方和。

费马提出的两平方和定理告诉我们，奇质数的区别藏在除以 4 的余数里：

奇质数的类型	能否写成两个整数平方之和	例子
除以 4 余 1	一定能	(5,13,17,29,37,41)
除以 4 余 3	不可能	(3,7,11,19,23,43)

唯一的偶质数 2 也可以：(2=1^2+1^2)。

对能够表示的质数，这种拆分在不计正负号和两个数先后顺序时是唯一的。比如 (41=4^2+5^2) 与 (41=5^2+(-4)^2)，并不算两种不同的拆法。[4]

图 3：41 可以拆成两个正方形的面积。右边解释“除以 4 余 3 为什么不可能”；但“余 1 的奇质数为什么一定能”，还需要更深的证明。

“为什么不行”，我们现在就能证明

偶数可写成 (2k)，平方后是 (4k^2)，除以 4 余 0。

奇数可写成 (2k+1)，平方后是

\[(2k+1)^2=4k(k+1)+1,\]

除以 4 余 1。

两个平方相加，余数只能是：

\[0+0=0,\qquad0+1=1,\qquad1+1=2.\]

无论怎么加，都凑不出余数 3。

所以 43 除以 4 余 3，它根本没有机会被拆成两个整数的平方和。不是我们没试够，而是所有尝试都被同一条余数规则挡住了。

难的却是另一半：为什么每一个余 1 的奇质数都一定能拆？

费马谈到过用无穷递降法处理这个问题，但现存说明没有完整展开关键构造。后来，欧拉给出了公开的证明。[1][4] 与其把故事说成“欧拉替他补了几行作业”，不如说：费马的判断很深，证明它也确实需要真功夫。

所谓无穷递降，核心想法是：假如存在某种正整数解或反例，就从它构造一个严格更小的同类对象；这样一路缩小，会与正整数不可能无限下降相矛盾。真正困难的地方，不是说出“往下递降”，而是找到那台能把对象变小的机器。

四、费马原理：绕一点路，为什么反而更快？

接下来，把数字放一边，去海滩走走。

救生员站在沙滩上的 A 点，海里 B 点有人需要救援。假设他在沙滩上跑得快，在水里游得慢，怎样才能最快到达？

最直观的回答是：直线最短，直接过去。

可距离最短，未必时间最短。在快的地面上多跑一段，换来在慢的水里少游一段，反而可能更早到达。

这就是理解费马原理的经典类比。光通过不同介质时速度不同，跨越界面会折射；费马用传播时间的思想，解释了这种转折。

图 4：根据救生员类比重新绘制的中文示意图。设 A 为 ((-3,3))、B 为 ((3,-3))，岸线为 (y=0)，两段速度分别为 2 和 1；最快入水点的横坐标约为 1.615。这个速度比是教学设定，不是真实空气与水的光速比。

一条折线，怎么算出“快”？

把入水点叫 P，两段速度分别是 (v_1,v_2)，总时间就是

\[T=\frac{AP}{v_1}+\frac{PB}{v_2}.\]

图中的直线路径总长度最短，但它在水里的部分比较长，总耗时约为 6.364；绿色折线在岸上多走了一些，在水里少走了一些，总耗时约为 6.056。时间单位与所选长度、速度单位配套即可。

图 5：让两条路线真正“比一场”。动画把所有时间按同一比例压缩，在约 4.8 秒内播放一次；两个圆点都在入水后减速，绿色先到。红色终点圆较大，绿色较小，停住后仍能看见两种颜色。单独打开动画，刷新可重播。关闭动态效果时只显示路线，仍可对照图上的耗时。

这里没有故意把绿色动画调快来“证明”结论：每一段耗时都按“距离÷所在介质的速度”计算。红线在岸上、在水里的距离各约为 4.243，所以总时间是 (4.243/2+4.243/1\approx6.364)；绿线则分别约为 5.504、3.304，总时间为 (5.504/2+3.304/1\approx6.056)。绿线的总路程更长，时间却少了约 4.83%。

也不是“在岸上跑得越远越好”。若一直跑到 B 的正上方再垂直入水，时间变成 (\sqrt{45}/2+3\approx6.354)，反而比绿色路线慢。最佳路径需要在“多跑”与“少游”之间找到平衡。

如果把 P 沿着岸线左右移动，寻找使时间最小的位置，会得到：

\[\frac{\sin\theta_1}{v_1} = \frac{\sin\theta_2}{v_2}.\]

其中两个角都从垂直界面的法线量起，不是从岸线量起。

对光而言，折射率 (n=c/v)。代进去就得到斯涅尔折射定律：

\[n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2.\]

从快的介质进入慢的介质，光会朝法线偏折。插进水里的筷子看起来弯了，不是筷子真的拐弯，而是到达眼睛的光在界面处改变了传播方向。[5]

光会算账吗？

当然不会。

“光选择最快路线”是一种形象说法，不表示光会提前侦察路线、拿计算器比较结果。费马原理是在几何光学中描述光路的数学规律。

更严谨地说，通常讨论的现代形式是光程驻值原理：在适当的几何光学条件下，实际光路的光程，对邻近路径的一阶变化为零。这里这个平直界面、两侧均匀介质的例子，确实对应最小传播时间；但不能把所有光学情形都简化成“全局耗时最短”。

还有一个小小的名称区别：它叫费马原理，不是“费马引理”。不是他先发现了折射定律，而是他给出了从传播时间出发理解它的方法。

如果想继续动手，可以打开科罗拉多大学博尔德分校的 PhET「光的折射」中文交互模拟。先观察空气进入水，再交换介质，比较光线向法线靠近还是远离；角度始终从法线量起。这个模拟展示真实的折射与反射模型，不是上面 2:1 速度设定的救生员竞赛。这里只链接官方模拟，不复制或重新发布其程序。

五、他还差一点就“撞上”微积分了

费马的贡献远不止数论与光学。他也是解析几何的重要先驱，并研究过曲线的切线、面积以及函数的最大值和最小值。

在牛顿、莱布尼茨建立微积分体系之前，他就发展出一套处理极值和切线的办法，通常用 adequality 这个词来讨论。[1]

例如，一根 40 米长的绳子围成长方形，怎样围出最大面积？

设一边长 (x)，另一边就长 (20-x)，面积为

\[A(x)=x(20-x).\]

如果把一边增加一点点 (h)，新面积与原面积的差是：

\[A(x+h)-A(x)=h(20-2x)-h^2.\]

在现代语言里，让变化量趋近于零，极值位置满足 (20-2x=0)，所以 (x=10)：面积最大的长方形是正方形。

这段计算是用现代符号说明他的思路，与费马当年的完整表述并不相同。但它让人看见：比较一个量和它稍微变化后的量，如何通向切线和极值。

不能因此说“微积分已经被费马一个人全部发明了”。不过，在微积分发展史上，他绝不是路过打酱油的人。

六、那句“页边太小”，究竟留下了什么？

现在，终于走到费马最著名的书页边。

勾股定理里，有许多漂亮的整数例子：

\[3^2+4^2=5^2.\]

把平方换成立方呢？

\[x^3+y^3=z^3.\]

换成四次方、五次方呢？

费马在阅读丢番图《算术》的拉丁译本时，留下一个断言：当整数 (n>2) 时，

\[x^n+y^n=z^n\]

没有正整数解。

紧接着，就是那句著名批注。意思大致是：

我发现了一个真正美妙的证明，可惜这里的页边太窄，容不下它。

这条批注通常被叙述为写于约 1637 年，不过确切落笔时间并不确定；重要而确实的出版节点是 1670 年：费马去世后，他的儿子萨缪尔把父亲的批注收入《算术》的新版，难题由此广为人知。[1][6]

他到底有证明，还是在吹牛？

最诚实的回答是：我们不知道他当时脑中那个证明是什么。

没有留存的完整一般性证明，不能因为费马是天才，就认定他说的一定已经证明；也不能因为后人花了很久，便断言他当时故意骗人。

费马确实留下了与 (n=4) 情形密切相关的无穷递降论证，但那不等于解决了所有指数。许多数学史研究者倾向于认为，他可能曾把一个有漏洞的思路当作一般证明。这里的“可能”，不能偷偷省掉。

“费马大定理”也不是“小定理升级后的第二关”，二者谈的是不同问题。“最后定理”这一名称，通常与他遗留断言中这道题长期未获解决有关，不是说这是他人生最后一天出的题。

三百多年后，证明终于赶到了

这场长跑，不是把指数一个一个试到无穷大。

欧拉、索菲·热尔曼、库默尔等人推进了不同部分；到二十世纪，问题又与椭圆曲线和模形式之间的深层联系接上了线。

所谓椭圆曲线，并不是椭圆的另一种画法。常见方程形式是

\[y^2=x^3+Ax+B,\]

还需满足相应的非奇异条件。它属于另一类代数曲线，“椭圆”这个名字很容易让人望文生义。

证明的大方向可以粗略理解为：假如费马方程存在反例，就能造出一条具有特殊性质的椭圆曲线；里贝等人的工作表明，它不可能是模的，而怀尔斯证明的半稳定椭圆曲线模性又要求它必须是模的，矛盾。

这只是路线说明，不是几句话就完成的证明。它真正厉害的地方，是把一个整数方程连接到两片看似遥远的数学大陆。

年份	发生了什么
1993	安德鲁·怀尔斯公开报告证明，随后发现关键缺口
1994	怀尔斯与理查德·泰勒合作，解决关键缺口
1995	怀尔斯的论文及泰勒—怀尔斯的配套论文发表于《数学年刊》
2016	怀尔斯因相关突破获阿贝尔奖

1995 年的两篇论文，可以直接在《数学年刊》查到。[7][8] 阿贝尔奖的授奖词也明确提到，他通过半稳定椭圆曲线的模性猜想证明费马大定理。[9]

如果从惯用的“约 1637 年”算到 1995 年，就是常说的 358 年。这个数字有叙事力量，但别忘了：起点是一个约定俗成的约年，不是一张精确到日的立项单。

最让人感慨的不是“费马一个人难倒了所有后人”，而是：为追上那句短短的批注，数学本身已经长成了他无法见到的样子。

七、别忘了，他还帮帕斯卡分过赌金

费马并非只喜欢离现实很远的整数。

1654 年，他与帕斯卡通信讨论“点数问题”：比赛没打完，赌注该怎么分？他们的工作成为现代概率论的重要奠基之一。

假设两人每局获胜的机会各半，各局相互独立。在先赢 3 局的比赛中，甲以 2:1 领先，甲还差 1 胜，乙还差 2 胜。把未来最多两局的结果补齐，四种等可能序列是：

甲甲、甲乙、乙甲、乙乙

前三种都对应甲最终获胜，只有最后一种是乙逆转。于是甲拥有 (3/4) 的胜算，64 枚金币就应分成 48 与 16。

在甲已经赢下第一局的路径中，第二局只是帮助统一计数的假想补位，不是真的要求冠军继续比赛。

这一故事可以接着读《帕斯卡怎样把一场赌局变成概率论？》。换到费马的角度看，他的特长又出现了：把可能性组织起来，寻找隐藏在表面之下的整数结构。

八、给天才保留一个犯错的位置

如果故事到这里结束，费马好像成了“每个猜想都对，只是懒得写证明”的神人。

可他也猜错过。

他曾猜想，下面这一族数全是质数：

\[F_n=2^{2^n}+1,\qquad n=0,1,2,\ldots\]

前五个确实很配合：

\[3,\ 5,\ 17,\ 257,\ 65537.\]

到了下一项，欧拉找到了反例：

\[F_5=2^{32}+1 =4294967297 =641\times6700417.\]

它不是质数。[10]

这不会抹去费马的成就，反而让我们看清数学的工作方式：好奇心负责提出问题，直觉负责指路，最后还得由证明或反例来裁决。

一位法官在工作之外，研究了数论、概率、解析几何、极值和光学。他值得记住的，不只是“业余也能赢过专业”的励志标签，更不是一句“有证明但不告诉你”的玩笑。

他让很多看似微不足道的问题，长出了巨大的后果。

一个余数，通向模运算；两个平方，通向数论结构；一条折弯的光线，通向极值思想；一小块写不下的页边，牵动了几代人的探索。

至于那本《算术》，后来的读者大概都有同一个愿望：

下次给费马送书，麻烦挑一本页边宽一点的。

资料与图片来源

本文把人物轶事与数学解释结合，以下资料用于核对履历、定理条件和证明史；文中的洗牌证明、矩形例子与救生员模型均以现代语言讲解，不作为费马原稿复原。

1. MacTutor：Pierre de Fermat。法律职业、通信、极值方法、光学与无穷递降的历史。
2. Wolfram MathWorld：Fermat’s Little Theorem。小定理、证明与伪素数的区别。
3. IETF RFC 8017：RSA Cryptography Specifications。RSA 的密钥、模幂原语与加密、签名方案。
4. Wolfram MathWorld：Fermat’s 4n+1 Theorem。两平方和定理、唯一性的限定与欧拉的证明。
5. TU Delft 光学教材／Physics LibreTexts：Principle of Fermat；David J. Raymond：Fermat’s Principle。传播时间、光程、折射推导与驻值条件，后者也讨论了并非最小值的例子。
6. MacTutor：Fermat’s last theorem。批注传播、早期特殊情形和后续发展；批注年代的记载存在差异，本文不把约年当作确切日期。
7. Andrew Wiles，Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem，Annals of Mathematics，1995。
8. Richard Taylor 与 Andrew Wiles，Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras，Annals of Mathematics，1995。
9. 阿贝尔奖官网：2016 年得主 Andrew Wiles。
10. Wolfram MathWorld：Fermat Number。费马数及合数反例。

交互延伸：PhET Interactive Simulations，University of Colorado Boulder：Bending Light，上文链接其官方中文模拟。外部模拟需要网络和 JavaScript，文章本身的图文不依赖它加载。

肖像：Wikimedia Commons：Pierre de Fermat (F. Poilly)，François de Poilly 作，公有领域。四幅中文示意图为本文原创；救生员图与竞速动画参考同类经典教学模型，按文中明确给出的坐标和速度重新计算绘制。