无理数怎么比较？一把“有理数筛子”的巧妙办法

如果不用小数，也不承认“根号二”已经是一个数，我们还能严谨地说：

小正方形的对角线与边长之比，等于大正方形的对角线与边长之比。

吗？

这看起来只是初中几何中的一句话，却藏着一个很深的问题：当一个比例不能写成两个整数之比时，我们凭什么判断它与另一个比例相等？

古希腊数学家欧多克斯给出了一个令人惊叹的回答：不必先把那个比例“算出来”，只要考察一些可以明确比较的东西——各个量的整数倍。

他的定义后来保存在《几何原本》第五卷中。初次读到时，那些“第一量”“第三量”“任意等倍”的说法，像一团绕口令。但把它拆开，就会发现一个清楚而深刻的思想：

一个比例与所有有理数的大小关系，足以把它唯一确定下来。

本文会从一把尺子讲起，逐步走到现代实数理论。不过要先说明：我们会借助现代符号解释古代思想，但不会把古希腊的“比”直接当成他们已经构造好的实数。

一、两根绳子，能不能共用一把尺子？

假设有两根绳子，长度分别是 15 厘米和 9 厘米。

用一段 3 厘米长的小绳子去量，第一根刚好量 5 次，第二根刚好量 3 次。没有剩余。

我们说，这两根绳子是可公度的。那段小绳子就是它们的一个共同度量。

这里的关键不是“3 厘米”，而是下面这种结构：存在某个正的长度单位 (u)，以及两个正整数 (p,q)，使得

\[A=pu,\qquad B=qu.\]

因此，用现代语言说，

\[\frac{A}{B}=\frac{p}{q}.\]

反过来也成立。如果两个正长度的比是 (p/q)，就可以把第一根分成 (p) 个等份、第二根分成 (q) 个等份，得到同样长的共同单位。

所以：

两个正长度可公度，当且仅当它们的比是有理数。

“不可公度”也就不神秘了：不是暂时没找到足够精细的尺子，而是根本不存在一个正长度单位，能把两者都量成整数份。

这个共同单位不需要是整数厘米，也不需要是有限小数厘米；不可公度排除的是所有可能的正长度单位。

正方形为什么会带来麻烦？

取一个正方形，把边长记作 (s)，对角线记作 (d)。勾股定理告诉我们：

\[d^2=2s^2.\]

用今天的语言，我们马上会说 (d/s=\sqrt{2})。但如果还没有把无理数纳入数的体系，真正的问题是：(d) 和 (s) 有没有共同度量？

假设有，就能写成

\[d=pu,\qquad s=qu,\]

其中 (p,q) 是互质的正整数。代入后得到：

\[p^2=2q^2.\]

于是 (p^2) 是偶数，(p) 也必然是偶数。令 (p=2k)，则

\[4k^2=2q^2 \quad\Longrightarrow\quad q^2=2k^2.\]

这样 (q) 也必须是偶数。这与 (p,q) 互质矛盾。

因此，正方形的边长与对角线不可公度。

这不是测量工具精度不够，而是一个“不可能存在”的证明。拿尺子实际测量，最多只能给出近似值，不能代替这个结论。

二、“数”和“量”为什么要分开谈？

我们今天习惯于把线段的长度写成一个实数：3、0.5、(\sqrt{2})、(\pi)……

但不能把这套成熟的观念直接搬回古希腊。

在《几何原本》的术语中，“数”是由单位组成的多；严格说来，单位“一”还被单独对待。现代人所说的分数，也不能不加说明地当成那里与整数地位相同的“数”。

而“量”属于另一类对象，例如线段、面积、体积。线段可以相加，可以比较大小，也可以取整数倍，却不必先被表示成某种数。

例如，下面这些操作都很自然：

• 把一条线段首尾接起来三次，得到它的三倍；
• 比较两条线段谁长；
• 比较两个面积谁大。

但线段不能直接与面积比较大小。“这条线段大于那个面积”不是一个有意义的几何命题。

同样，用两条线段作长和宽，可以构造一个长方形；所得的是面积，而不是同类的线段。若要再用一个数表示这个面积，就需要选定面积单位。

把数和量区别开，不等于古希腊人“放弃了算术”。 《几何原本》中既有研究量的比例的第五卷，也有研究数的第七至第九卷。更准确的说法是：他们发展了不依赖于把每个几何量都数值化的理论。

这也不意味着不可公度的比例完全无法描述。我们已经能用“平方满足两倍关系”准确刻画正方形的对角线，只是还不能把它的比例表达为整数比。

关于不可公度量的发现，常见的“第一次数学危机”是后世的一种概括。“整个学派立刻崩溃”“某位发现者因泄密被处死”等戏剧化叙述，不宜当作已经确证的历史事实。

三、真正的难题：比例不是分数时，什么叫相等？

如果两组线段都可公度，判断比例相等似乎不难：

\[15:9=10:6,\]

因为两者都可以化成 (5:3)。

但假设 (A,B) 是小正方形的对角线和边长，(C,D) 是大正方形的对角线和边长。

我们希望说：

\[A:B=C:D.\]

如果“比例相等”的定义只接受整数比，那么这句话就还没有获得足够一般的解释。

现代读者可能会说：“交叉相乘，证明 (AD=BC) 不就好了？”

对线段来说，确实可以把这两个乘积解释为面积，并发展相应的判据。但这需要说明几何乘积的意义及其与比例的关系；它也不能直接充当适用于各种量的统一定义。

欧多克斯比例论的路线更基础：

先只使用同类量的相加、整数倍和大小比较，定义什么叫两个比相等。

这样，无论比例能不能写成分数，都有统一的处理方式。

四、把欧多克斯的定义翻译成一句人话

传统上归于欧多克斯的比例理论，见于欧几里得《几何原本》第五卷。其中定义 5 的核心，可以用现代符号整理如下。

给定四个正的量 (A,B,C,D)，要求 (A,B) 是同类量，(C,D) 是同类量。两组不必属于同一种类：例如第一组可以是线段，第二组可以是面积。

任意取两个正整数 (m,n)：

第一组的比较	第二组必须有的比较
(mA>nB)	(mC>nD)
(mA=nB)	(mC=nD)
(mA<nB)	(mC<nD)

如果对所有正整数 (m,n)，两组比较始终同号，就定义

\[A:B=C:D.\]

这里“等倍”的意思是：第一量与第三量同乘 (m)，第二量与第四量同乘 (n)。不是要求 (m=n)。

可以把它想象成两场比赛：

第一场：(m) 份 (A)，与 (n) 份 (B) 比大小。

第二场：(m) 份 (C)，与 (n) 份 (D) 比大小。 无论怎样选择份数，两场比赛的胜、平、负都完全一致。

这时，我们就说，两组量有相同的比例。

原先那段话从第三、第四量的比较讲起，这里从第一、第二量讲起；只要要求的是所有比较结果对应一致，本质上是同一个定义。

先用普通分数试一遍

取 (A=15,\ B=9,\ C=10,\ D=6)，都按同一种长度单位计量。

比较 (15m) 和 (9n)，相当于比较 (5m) 和 (3n)；比较 (10m) 和 (6n)，也相当于比较 (5m) 和 (3n)。

所以任意选 (m,n)，两个比较必然同号。

例如：

(m,n)	比较 (15m) 与 (9n)	比较 (10m) 与 (6n)
(1,1)	(15>9)	(10>6)
(3,5)	(45=45)	(30=30)
(1,2)	(15<18)	(10<12)

于是，欧多克斯的定义确实涵盖了我们熟悉的有理比例。

注意：表中的三次试验只是帮助理解。真正的理由是两边都归结为比较 (5m) 与 (3n)，这才一次性覆盖了所有正整数。

五、为什么“比较整数倍”其实是在询问所有有理数？

下面暂时站到现代实数的视角，看看这个定义究竟捕捉了什么。为两组量分别选定单位，把它们的数值仍记为 (A,B,C,D)，并令：

\[x=\frac{A}{B},\qquad y=\frac{C}{D}.\]

由于这些量为正，

\[mA>nB \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{A}{B}>\frac{n}{m}.\]

同理，

\[mC>nD \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{C}{D}>\frac{n}{m}.\]

所以，欧多克斯的判据可以翻译为：

对每一个正有理数 (r=n/m)，(x) 与 (r) 的大小关系，都和 (y) 与 (r) 的大小关系一致。

也就是说，不直接比较 (x,y)，而是让它们回答同一套问题：

“你比 1 大吗？”

“你比 (3/2) 小吗？”

“你比 (7/5) 大吗？”

“你与 (99/70) 的关系是什么？”

……

只要所有问题的答案都相同，它们就是同一个比例。

这里有个容易绕晕的细节：若考察 (A/B)，对应的有理数是 (n/m)。也可以改为比较 (m/n) 与 (B/A)，但那是在考察倒数，不能把两个版本混用。

为什么这不是循环论证？

因为古代定义本身不需要先写出 (x=A/B) 这个实数。

它只需要构造 (mA,nB,mC,nD)，再比较同类量的大小。这里的除法只是我们借助现代语言进行的解释，并不是欧多克斯必须预先使用的工具。

先定义比例关系，再由后世的数系解释它；不是先假定无理数已经存在，再宣称自己定义了无理数。

六、最关键的一步：为什么所有答案一致，就必然相等？

假设 (x,y) 是两个不同的正实数，而且 (x<y)。

有理数有一个重要性质：

任意两个不同的实数之间，总能找到一个有理数。

这叫作有理数的稠密性。

因此，存在正有理数 (r=n/m)，使得

\[x<\frac{n}{m}<y.\]

那么，

\[mA<nB,\qquad mC>nD.\]

第一场比赛输，第二场比赛赢。比较结果出现分歧，欧多克斯的条件不成立。

所以反过来说：如果任何正有理数都不能让两者给出不同答案，那么它们不可能不同，只能相等。

这正是定义有力量的地方：它不会把两个不同的普通几何比例误判成同一个。

一个接近得很危险的例子

把 (\sqrt{2}) 与有理数 (1.4142) 比较。

它们与 1、1.4、1.41 的比较都相同；它们也都小于 1.415。只问这些问题，根本分不出来。

但有理数 (1.41421) 就能把它们区分开：

\[1.4142<1.41421<\sqrt{2}.\]

右边的严格不等式可以用平方验证，而不必依赖计算器显示的根号近似值：

\[1.41421^2=1.9999899241<2.\]

因此，只要把问题问得足够细，两者一定会露出差别。

这里的重点不是“多保留几位小数”，而是：对每一对不同的实数，总有某个有理数可以区分它们。

背后还藏着一个前提

《几何原本》第五卷定义 4 对能够相互成比的量提出要求：通过取倍数，它们能够相互超过。这与今天所说的阿基米德性质密切相关。

直观地说，无论一个正量多小，只要取足够多份，就能超过另一个给定的同类正量。

它排除了这样的情形：某个正的“无穷小”无论取多少整数倍，仍然比一个固定正量小。

为什么要提这个？因为在包含无穷小的非阿基米德有序数系中，两个不同的数未必能被有理数隔开。例如，1 与“1 加一个正无穷小”之间就没有有理数。

我们前面的解释适用于通常的实数以及相应的普通几何量，不能不加条件地推广到所有可能的数系。

七、不可公度时，没有“平局”怎么办？

如果 (A,B) 不可公度，就不可能存在正整数 (m,n) 使得

\[mA=nB.\]

否则，令 (u=A/n=B/m)，就有

\[A=nu,\qquad B=mu,\]

这恰恰给出了共同度量，与不可公度矛盾。

也就是说，对于不可公度的一组量，所有整数倍的比赛都没有平局。

但定义仍然有效：它依靠全部“大于”和“小于”的比较结果来确定比例。

没有任何一个有理数恰好等于它，并不意味着有理数无法共同确定它。

不写根号，也能比较两个正方形的比例

设小正方形的对角线、边长分别是 (A,B)。现在把整个图形放大为原来的两倍，得到对角线 (C=2A)、边长 (D=2B)。

任取正整数 (m,n)，就有

\[mC=2(mA),\qquad nD=2(nB).\]

把两个同类量同时加倍，不会改变它们之间的大、小、相等关系。

因此：

\[A:B=C:D.\]

整个论证没有把对角线与边长的比写成分数，也没有先算出根号二。我们只使用了整数倍和大小关系。

这就是比例论带来的实际能力：即便一个比不是整数比，关于它的几何证明依然可以严格进行。

八、“对所有”不等于真的做无限次实验

读到这里，很容易产生一个新疑问：

“正整数有无限多个，我怎么检查所有 (m,n)？这不是无法完成吗？”

需要区分两件事：

定义告诉我们满足什么条件才算相等；证明则要一次性说明这个条件对所有情况成立。

比如上一节，我们并没有试遍所有整数，而是利用了一个一般事实：两个量同时加倍，大小关系保持不变。

正是这个事实，一次性涵盖了全部 (m,n)。

相反，哪怕计算机试验了一万亿组整数倍，也只能说明这些试验没有发现差别，不能据此断言所有情况都没有差别。

所以，“有理数筛子”“夹逼”都是有帮助的比喻，但别把它理解成一个靠无限测量最终停机的程序。欧多克斯给出的是精确的判据，不是一个对任意输入都能迅速判定相等的通用算法。

九、从比例走向数：戴德金又前进了一步

欧多克斯的理论解决了：

已经给定一些量，什么时候说它们的比相同？

到十九世纪，实数基础的研究还要回答另一个问题：

能不能不依赖已有的几何线段，仅从有理数出发，构造出包含无理数的数系？

微积分与极限理论的发展，使连续性、极限存在性等问题需要更明确的基础。戴德金在 1872 年发表《连续性与无理数》，提出了著名的分割构造；康托尔等人也发展了以有理数序列为基础的路线。

下面采用一种常见的现代约定，来解释戴德金分割。

第一步：只使用已有的有理数

把全体有理数 (\mathbb{Q}) 分成两部分：左边 (L)，右边 (U)。

要求：

1. 两边都非空，并且每个有理数恰好属于其中一边；
2. 左边的每一个数，都小于右边的每一个数；
3. 左边没有最大的数。

第三条是一种端点约定，用来避免同一个有理数被两种切法重复表示。其他教材也可能采用等价但不同的约定。

按这个约定，给出左边集合 (L) 就足够了，因为右边必然是 (\mathbb{Q}\setminus L)。

第二步：有理数本身也对应一个分割

例如：

\[L_2=\{q\in\mathbb{Q}:q<2\}, \qquad U_2=\{q\in\mathbb{Q}:q\geq 2\}.\]

左边没有最大数：任意一个小于 2 的有理数，与 2 取平均，就会得到一个更大、却仍小于 2 的有理数。

右边则有最小数，就是 2。

这个分割表示我们原本已经认识的有理数 2。

第三步：构造一个没有有理数端点的分割

现在不预先使用 (\sqrt{2})，只用有理数及其平方来定义：

\[L=\{q\in\mathbb{Q}:q<0\ \text{或}\ q^2<2\},\] \[U=\{q\in\mathbb{Q}:q>0\ \text{且}\ q^2>2\}.\]

为什么左边要加上“(q<0)”？

因为我们要表示的是正的根号二所在的位置，所有负有理数都应该在它左边。若只把“平方小于 2 的有理数”放在左边，就会漏掉 (-2,-3) 等数；那不是正确的分割。

没有有理数的平方等于 2，这一点已由前面的奇偶性论证保证。因此，上面两部分确实覆盖了所有有理数，没有遗漏边界上的有理数。

这个分割的左边没有最大数，右边也没有最小数。其理由可以仅用有理数运算证明：平方尚未达到 2 的非负有理数，总能稍微增大一点仍不到 2；平方超过 2 的正有理数，总能稍微减小一点仍超过 2。

如果这个分割来自某个有理数端点 (r)，它就必须落在两类平方之间，而不可能满足 (r^2<2) 或 (r^2>2)，只能满足 (r^2=2)。但这样的有理数不存在。

于是，我们得到了一个不能由任何已有有理数表示的分割。

第四步：把分割本身作为新的数

最关键的转变就在这里：

不是先假定那里已经站着一个神秘的无理数，再用有理数围住它；而是把这个符合条件的分割本身作为一个数。

上面这个分割所表示的正实数，就是我们称作 (\sqrt{2}) 的对象。

当然，“宣布它是数”还不够。还需要定义这些对象的大小、加法、乘法，并验证运算法则。

例如，用左集合表示实数时，可以用集合包含关系定义次序：

\[L_x\subseteq L_y \quad\Longleftrightarrow\quad x\leq y.\]

加法也可以从有理数的加法出发定义：

\[L_{x+y} =\{a+b:a\in L_x,\ b\in L_y\}.\]

乘法则需要区分正负等情况，再证明这些运算与原来的有理数运算相容。完成这些工作后，得到的才不只是一些“切口”，而是一个真正的实数体系。

十、欧多克斯和戴德金：相似在哪里，又不同在哪里？

现在回头看，两者之间的联系就很清楚了。

对于一个正的比例 (A:B)，我们可以只用量的整数倍关系，给它建立一份“左侧有理数档案”：

\[L_{A:B} = \{r\in\mathbb{Q}:r\leq 0\} \ \cup\ \left\{ \frac{n}{m}:m,n\in\mathbb{Z}_{>0},\ nB<mA \right\}.\]

同一个有理数可以有不同的分数写法，但把分子、分母同时乘以一个正整数不会改变比较结果；等值分数也可以通分。因此这份档案不依赖分数的具体写法。

用现代语言解释，这份档案恰好收集了所有小于 (A/B) 的有理数。

欧多克斯的相等判据，正是在说：两个比例对有理数给出完全相同的大小关系。在通常的阿基米德背景下，这对应着它们拥有同一份左侧档案。

戴德金则再向前一步：不再必须先给定那个几何比例，而是直接用符合条件的档案来构造数。

问题	欧多克斯比例论	戴德金分割
从什么出发？	已给定的量及其整数倍	有理数及其次序
核心任务是什么？	定义两个比何时相等	构造包括无理数的实数体系
有理数扮演什么角色？	区分比例的比较标准	构造新数的基本材料
是否已经完成现代实数构造？	没有	配合运算及性质的证明，可以完成

因此，把欧多克斯比例论称作现代实数思想的一个重要先声，是有道理的。

但说“欧多克斯已经定义了全部实数”，就走得太远了。他没有在这里从有理数构造所有实数，也没有因此自动建立现代实数的整套运算与完备性理论。

同样，思想结构相似，不等于可以直接断言戴德金的构造就是从欧多克斯那里获得灵感。 若讨论具体的历史影响，需要另外考察文献，不能只凭两套理论看起来相似就认定直接传承。

十一、有理数已经这么密了，为什么还需要实数？

这是整条线索中最后一个容易混淆的地方。

有理数确实稠密：在两个不同的有理数之间，总能插入另一个有理数。

但稠密不等于没有缺口。

想一想下面这个完全由有理数构成的集合：

\[S=\{q\in\mathbb{Q}:q\geq 0,\ q^2<2\}.\]

它非空，也有有理数上界，例如 2。然而在有理数范围内，它没有最小上界。

为什么？若一个非负有理数的平方小于 2，它还不够大，不是上界；若平方大于 2，它又可以稍微减小，仍然是上界。唯一可能恰好卡住边界的数应满足平方等于 2，但有理数中不存在这样的数。

在实数中，这个集合就有最小上界：

\[\sup S=\sqrt{2}.\]

这种“每个非空、有上界的集合都有最小上界”的性质，叫作实数的完备性。

两种性质各有分工：

• 稠密性解释：为什么有理数足以区分两个不同实数，也就帮助我们理解欧多克斯判据；
• 完备性保证：像上面这样的边界，不会在实数体系里缺席，也是实数极限理论的重要基础。

所以，“拿有理数把一个比例辨认出来”与“让所有这样的边界成为数”，是相关但不同的工作。

也要小心“数与量终于合二为一”这句话。选定单位以后，普通长度可以用实数表示，但长度、面积、体积仍是不同类型的量。现代数学并没有让“3 米加 2 平方米”突然变得有意义。

十二、回到那段绕口令：它究竟伟大在哪里？

现在，我们可以把整件事压缩成三个台阶。

第一个台阶：共同尺子不够用。

有些量之间没有共同度量，因此它们的比不能写成整数比。正方形的对角线与边长就是最经典的例子。

第二个台阶：不能写成分数，不代表不能严格比较。

欧多克斯不要求先把那个比表示成一个数，而是通过所有整数倍的大小关系，定义比例相等。它统一处理了可公度与不可公度的情形，让相应的比例推理得以严格展开。

第三个台阶：比较关系甚至可以成为数的构造材料。

戴德金从有理数的分割出发，把原来只能通过比较关系刻画的边界，纳入一个完整的实数体系。

所以，原先那句“让数学家像处理有理数一样，对无理数进行严谨计算”，最好理解得更准确一些：

欧多克斯使涉及不可公度量的比例论证获得了统一而严格的基础；这不等于他已经建立了今天所有实数的算术。

这项工作的深刻之处，不是“古人已经算出了很多位根号二”，而是他们看见了：

我们未必需要先给一个对象写出一个熟悉的数值，才能用它与已知对象之间的关系，精确地把握它。

有时，一个概念真正的突破，不是算得更快，而是先想清楚：我们究竟凭什么说，两个东西是一样的。

原典与延伸阅读

本文的公式和例子采用现代语言组织；关于古代概念，应以原典的具体定义为准。下面列出便于进一步核对的文献位置，不把思想类比当作已证实的历史因果。

1. 欧几里得：《几何原本》第五卷，定义 4、定义 5。 分别涉及能够相互成比的量，以及比例相等的整数倍判据。可从 David E. Joyce 的《几何原本》第五卷在线版本 查阅。
2. 欧几里得：《几何原本》第十卷，定义 1。 可公度量以共同度量为特征，不可公度量则没有共同度量。参见第十卷在线版本。
3. Richard Dedekind：Stetigkeit und irrationale Zahlen（1872，《连续性与无理数》）。 重点可读第 III 节关于连续性的讨论，以及第 IV 节关于无理数的构造。英译收录于 Essays on the Theory of Numbers。
4. 进一步学习的关键词： 阿基米德性质、有理数的稠密性、戴德金分割、最小上界性质、柯西序列构造实数。这些概念能帮助我们把数学史中的思想线索与现代分析的严格结构对应起来。