游戏背后的数学，如何在游戏中必胜？

桌上有 50 颗糖。两人轮流拿，每次只能拿 1 颗、2 颗或 3 颗，拿到最后一颗的人赢。你先拿。

可以先背一句“抢 4 的倍数”。先别背。我们从一颗糖都不剩的时候往回看。口诀会自己冒出来，而且你能看见它在哪一步成立、改一条规则后又会在哪里失效。

这条从终局倒推的路，借自漫士的视频《游戏背后的数学，如何在游戏中必胜？》。糖、两堆和有毒巧克力的形状沿用了那个讲法。下面的格子、步数和证明边界，按规则重新算过，并核对到论文实际写到的地方。

一、先把 0 颗标成必败

规则要先说死，否则同一堆糖会算出两张表。

• 轮流拿，每次 1、2 或 3 颗，不能跳过。
• 拿走最后一颗的人赢。桌上已经没有糖时，轮到的人走不了，也就是输了。
• 两人都能看见还剩多少，没有骰子，也没有藏起来的糖。

0 颗是终局：上一手已经把最后一颗拿走。所以 0 是必败格——这里的“必败”指轮到走的那个人输，而且双方之后都走最优时仍然输。

1 颗：拿走 1 颗，留给对方 0。你赢。2 颗、3 颗同样，一次拿完。

4 颗：拿 1 留 3，拿 2 留 2，拿 3 留 1。三格都是对方必胜。你没有第四种拿法。所以 4 是必败格。

5 颗就有出路了：拿 1，留下 4。6 颗拿 2，7 颗拿 3。8 颗又会把对方留在 7、6 或 5，三格都是对方必胜。

图 1：从左往右读，先定 0，再看哪一步能把对方留在虚线格。虚线格写着“无好手”，实线格的“拿 1”“拿 2”“拿 3”是唯一能走到必败格的数量。橙框沿格子走一遍后消失，只提示次序；减少动态效果时不显示橙框，字一直都在。单独打开，刷新可重播。

图只画到 8。一般结论可以用归纳说完。

设剩 \(n\) 颗时，轮到的人在双方都最优的前提下：

• \(n\) 是 4 的倍数，则必败；
• 否则必胜，而且唯一的胜着是拿走 \(n\) 除以 4 的余数。

\(n=0\) 已经核对过。假定所有更小的颗数都符合这句话。

若 \(n=4k\)，而且 \(k\ge 1\)，拿走 1、2、3 之后剩下 \(4k-1\)、\(4k-2\)、\(4k-3\)，都不是 4 的倍数。按归纳，对方必胜。三步全输，所以这一格必败。

若 \(n=4k+r\)，\(r\) 是 1、2 或 3，拿走 \(r\) 就留下 \(4k\)，对方落到必败格。拿走别的数量，剩下的不是 4 的倍数，对方会必胜。所以胜着只有这一手。

50 颗：\(50=4\times 12+2\)。先手只能拿 2，留下 48。此后对方拿 \(r\) 颗（\(r\) 为 1、2 或 3），先手就拿 \(4-r\) 颗，始终把 4 的倍数还回去，直到把 0 留给对方。最后一颗是先手拿的。

脚本把 0 到 50 的每一格都按“所有拿法”倒推了一遍，和这条规律一致。拿错一次，节拍就交给对方。比如 5 颗时若贪心拿 2，留下 3，对方一次拿完，你输。

如果改成“拿最后一颗的人输”，0 颗不再是同一种终局，整张表都要重标。本文只算“拿走最后一颗的人赢”。

这种从终局往回贴标签的办法，叫做逆向归纳。标签不是“这一局谁手气好”，而是：轮到走的人，有没有一套应对，使得无论对方下一步怎么走，自己都能维持优势。

二、两堆一样多时，模仿就够了

再加一把规则：糖分成两堆。每次只能从同一堆里拿走至少 1 颗，可以整堆拿走。拿到桌上最后一颗的人赢。

(0, 0) 仍是必败。只剩一堆 \(n\) 颗、另一堆是 0 时，轮到的人把那一堆全拿走就赢，所以 \((n,0)\) 和 \((0,n)\) 在 \(n\ge 1\) 时必胜。

把 0 到 5 的每一对都这样倒推，必败格刚好落在对角线上：两堆颗数相等。

图 2：列是甲堆，行是乙堆，格里先写甲、再写乙。实线格必胜，虚线格必败。下方的例子从 5 比 2 拿到 2 比 2；若对方再把甲堆拿成 1，就从乙堆拿 1，回到 1 比 1。0 到 5 的每一格都由倒推得到。

对角线可以不靠穷举，直接写成策略。

两堆相等时，对方无论从哪一堆拿走 \(t\) 颗，两堆就不再相等。你从另一堆也拿走 \(t\) 颗，相等恢复。糖的总数每次都在减少，不能永远拿下去。最后一次：对方面对 \((k,k)\)，拿走其中一堆的 \(k\) 颗，你拿走另一堆的 \(k\) 颗，最后一颗在你手里。

两堆不相等时，你先从多的那堆拿走差额，把它变成相等，然后用同一套模仿。

所以开局若是两堆各 100 颗，后手必胜：先手一动，后手就把它补平。若开局是 100 和 97，先手从 100 里拿 3，之后改由自己模仿。

这和单堆不一样。单堆的必胜是“每次把 4 的倍数留给对方”。两堆的必胜是“每次把相等留给对方”。两套策略都能写下来，不必把更大的格子再算一遍。

三、三堆糖为什么突然冒出二进制？把它想成“分袋配对”！

一旦变成三堆糖，上一节的左右照镜子立刻失灵了：比如三堆各 1 颗 (1, 1, 1)，你拿走任意一堆，反而把相等的两堆 (1, 1) 送给了对方，对方照镜子稳赢。

1901–1902 年，哈佛大学数学家查尔斯·布顿（Charles L. Bouton）在《数学年刊》上彻底解开了任意多堆的玩法，并给它起名 Nim（尼姆游戏）。他的结论刚听起来像变魔术：把每堆颗数写成二进制，竖着对齐相加且不进位（今天记作异或 \(\oplus\)）；如果每一竖列的 1 都是偶数个，这就是轮到谁走谁必败的安全局！

很多读者第一次看到这里都会纳闷：好端端拿糖果，凭什么跟二进制扯上关系？

其实根本不用先背异或公式，只要把每堆糖按 \(8\) 颗、\(4\) 颗、\(2\) 颗、\(1\) 颗的规格分装进小袋子，它瞬间就变回了上一节的“两两配对照镜子”！

• 任何正整数都能唯一拆成不同规格的 2 的幂之和：比如布顿原文里的三堆 9, 5, 12——9 = 8 + 1（一袋 8、一袋 1），5 = 4 + 1（一袋 4、一袋 1），12 = 8 + 4（一袋 8、一袋 4）。
• 现在看图 3 左表，把同规格的袋子排成一竖列：8 颗袋正好 2 个（成一对！），4 颗袋正好 2 个（成一对！），1 颗袋也正好 2 个（成一对！）。没有任何一个袋子落单！

图 3：把二进制每一位看作 8、4、2、1 颗规格的小糖袋。左图 (9, 5, 12) 每种袋子都成双成对（列和全偶，异或和为 0），谁先动都会拆散至少一对，必败；右图 (3, 4, 5) 里 4 颗袋成对、1 颗袋成对，唯独甲堆多出一只落单的 2 颗袋——把这 2 颗拿走变成 (1, 4, 5)，所有袋子重新成双成对！单独打开图片

一旦想通了“糖袋成双配对”，整套必胜法则就顺理成章了（只用两句话就能严密证完）：

1. 全配好对的安全局，一动必破功：设当前每列都是偶数个 1（即 \(a\oplus b\oplus c = 0\)）。规则只许你动同一堆，不管你从这堆拿走几颗，这堆糖的二进制至少有一位会发生改变（0 变 1 或 1 变 0），那一竖列原本成双成对的偶数立刻变成奇数——你被迫把“有落单袋子”的好局面送给对手！
2. 有落单袋子的局面，一定能一步补齐所有配对：设当前至少有一列是奇数（异或和 \(s = a\oplus b\oplus c \neq 0\)）。盯住规格最大的那个落单列（即 \(s\) 的最高位 1），必然至少有一堆糖拥有这只大袋子（记作 \(x\) 堆）。我们就在 \(x\) 堆里动手：把所有落单列的袋子状态全部翻转（多退少补，算式即改成 \(x\oplus s\)）。因为最大那只袋子是退掉（最高位从 1 变 0），哪怕后面小规格袋子补进几个（\(4 > 2+1\)，\(8 > 4+2+1\)），总颗数也严格减少，完全符合“往外拿糖”的规则！

拿图 3 右边的 (3, 4, 5) 手算一遍：4 颗袋有两只（乙、丙），1 颗袋有两只（甲、丙），只有甲堆那只 2 颗袋孤零零落单（\(3\oplus 4\oplus 5 = 2\)）。直接从甲堆把这 2 颗拿走，留下 (1, 4, 5)，全场袋子瞬间全部配平！两堆相等其实就是它的特例——两堆完全一样，自然每种规格的糖袋都一模一样各有一只。

四、井字棋小到可以搜完

井字棋还是同一套标签，只是局面从“还剩几颗”换成“棋盘长什么样”。

× 先下，○ 后下。横、竖、斜连成三子的人赢。下满 9 格仍没有三子，就是和棋。

终局有三种：× 胜、○ 胜、和。往回标的时候：

• 存在一步，使自己立刻赢，或使对方落入必败，则这一盘必胜；
• 每一步都让对方必胜，则这一盘必败；
• 没有必胜步，但有一步能走到“双方都能守住和棋”的局面，则这一盘是和棋。

空棋盘用这套规则搜完，值是和棋。双方都最优时，谁也不能强迫对方犯错。

搜的过程里还能看见，最优和“随便下”不是一回事。下面这盘已经下了 6 子，轮到 ×。三个空位里，只有右上角能把和棋守住。× 若占左上，○ 占右上，右上、正中、左下三枚圈连成一线，○ 立刻赢。上边正中那个空位也会输，只是 ○ 不能在下一手就连成。

图 4：左盘轮到 ×，完整搜索的值是和。中盘的两枚橙格有先后：× 先占左上，○ 再占右上并连成。右盘 × 改占右上，这是三个空位里唯一仍为和棋的选择；之后的每一步图中没有逐着画出，搜索确认 ○ 无论怎么应，× 都还能守和。

把所有合法下法都数一遍，和“最优是和棋”是两份账。

脚本规定：有人连成三子就停止，不再把剩下的格子填完。这样数下来，× 胜 131184 局，○ 胜 77904 局，下满仍无人三连的有 46080 局，合计 255168。能走到的不同局面是 5478 个。若规定即使已经分出胜负也要把 9 格下满，末端会是 \(9!=362880\) 条，那是另一种计数，里面包含已经结束后的废着。

131184 大于 77904，只说明随便下时先手赢的条数更多。它不能推翻空棋盘的搜索值。那 46080 条和棋里，也有很多是中途放过了赢着。最优对局里，结果是和；能下成和棋的路径却不只一条，而且其中大量路径并不是最优。

井字棋因此是一个可以握在手里的样品：局面种类有限，终局清楚，倒推能跑完，空棋盘的答案是和棋。国际象棋和围棋的开局，缺的就是这最后一句“跑完”。

五、开局可以已有定论

把前面的贴标签说成一句一般的话。

考虑这样的游戏：

1. 两人轮流走，每一步的合法着法只有有限种。
2. 局面完全看得见。没有骰子，没有暗牌。
3. 无论双方怎么走，对局都会在有限步内结束。
4. 终局由规则判成某一方胜，或判成和。双方都更愿意自己赢，其次接受和，最不愿意自己输。

那么每一个局面恰属三类之一：轮到走的人能迫使自己赢；对方能迫使轮到的人输；或者双方都有办法避免自己输，也就是把结果守成和棋。

证明仍是倒推，只是这次对“最多还要走多少步”做归纳。

终局已经由规则标好：这一步若让对局结束，就按规则记成我胜、我负或和。还没结束的局面，用它已经标好的那一类。若每一步都通向“对方能迫使获胜”，则轮到的人必败。若存在一步通向“对方必败”，包括自己立刻获胜的终局，则轮到的人必胜。若两种都不是，那就没有获胜步，但存在一步走到和棋局面；走那里，并在之后继续使用那个局面上“避免失败”的应对。对方在和棋局面里同样无法迫使获胜。所以双方都能把结果守成和。

有限步是归纳的地板。局面可以循环时，不存在“最多还剩几步”，这套归纳就没有起点。

1913 年，恩斯特·策梅洛发表了《论集合论在国际象棋理论中的一项应用》，文章来自 1912 年剑桥国际数学家大会。他讨论的是两人、没有运气、利益相反、局面种类有限的游戏，并以国际象棋为例。他允许对局无限下下去，并把无限对局看作和棋。论文的主要问题是：若一方确实能迫使获胜，需要的步数有没有上限。他的回答是：有，而且可以不超过局面的总数。

后来的文献常把另一句话称作策梅洛定理：此类游戏里，先手必胜、后手必胜、双方都能守和，三者恰有其一。施瓦尔贝和沃克对照原文后写明，这句三选一更接近后来的整理。登内什·柯尼希在 1927 年指出，策梅洛原来关于“步数不超过局面数”的论证有漏洞；策梅洛在柯尼希论文的附录里给了补正。拉斯洛·卡尔马在 1928/29 年把局面分成甲方必胜、乙方必胜、以及双方都能避免失败的和棋。施瓦尔贝和沃克还写明：1913 年那篇论文并没有使用今天教科书里这种从终局逐层倒推；把倒推写成标准方法，是更后面的事。

上面这段证明用的，是对局长度有上限时的倒推。它可以说明空棋盘也有一个确定的值。它不告诉你这个值是先手胜、后手胜，还是和棋，也不把每个局面的应着交到你手里。

国际象棋要套进“长度有上限”，得靠终局规则把无限循环截断。香农在 1950 年讨论机器下棋时，就明确用到了五十步和棋规则，从而说变化树会结束。现行规则里还有三次重复可要求和棋，以及更晚的自动和棋条款。不同年代的规则文本，上限不一样。

围棋也一样。若规则禁止棋盘回到此前出现过的形状，局面种类有限，对局就不能无限循环。没有这种限制时，不能直接说每一盘都会在有限步内结束。规则文本对“同形”的定义并不统一，这里只把逻辑条件写出来。

“围棋之神在落第一子之前已经算完”是一个比喻：在长度有上限的规则下，开局的值已经确定。它不是一份已经算完的对局记录。国际象棋的开局属于胜、负、和中的哪一种，这句定理没有回答，到今天也还没有人把整棵树跑完。

六、不把树算完，有时也能证明先手不会输

有些游戏大到跑不完，却仍然能证明“后手不可能有必胜策略”。办法是反证，常被叫做策略窃取。它经常不告诉你第一手该下在哪。

先看一块可以算完的巧克力，把“证明存在”和“指出那一口”分开。

毒在左下角。选一格，把它和右上方还在的格子一起吃掉。吃到毒的人输。只剩毒的时候，轮到的人只能吃毒，所以 \(1\times 1\) 必败。

在 \(3\times 3\) 上，只吃右上角会输。对方接着吃掉中心及其右上方，留下一个 L：底边一整行，加上左边除去底角之外的格子。面对这个 L 的人必败。而“吃成这个 L”在开局就是合法的一口。所以先手自己第一口就该这样吃。此后对方吃掉一臂上的一截，先手就在另一臂上吃对称的一截。

图 5：先看右上角被吃掉之后的盘子，再看对方把它吃成 L，这一口会输。第二行是先手自己留下同一个 L；对方若吃掉底边右端，先手吃掉左边上端，两臂恢复一样长。虚线是已经吃掉的格子。图里只画了一种防御；脚本对其余防御也做了对称回应，并在边长 2、3、4 的正方形上核对过。

正方形上，留下 L 再镜像，是写得出来的策略。存在性证明更短，它只证明好的第一口存在：

假设后手有一套必胜应对。看“只吃最右上角一格”这一口。若这一口已经必胜，先手会赢，与“后手有必胜应对”矛盾。若这一口会输，后手就有一个应着，吃到某个形状 \(P\)，并从 \(P\) 开始一直赢。在这套吃法里，少了右上角之后能一步吃到的形状，完整盘子也能一步吃到：你选中的那一格若不是右上角，连它右上方一起吃时，本来就会把右上角吃掉。于是 \(P\) 是开局就能直接吃出来的形状。先手本可以把第一口吃成 \(P\)，然后照着那套原属于后手的应对接着下。后手的必胜应对因此也可以被先手使用。这与假设矛盾。

所以后手没有必胜应对。毒块迟早会被吃到，对局没有和棋。后手不能必胜，就意味着先手必胜。

证明用到了“假如后手会应对”。你若算不出那个应对，证明并不把第一口放进手里。\(3\times 3\) 上，只吃右上角恰恰会输，真正的第一口是对方用来惩罚它的那一口。\(2\times 3\) 上，脚本得到的唯一好第一口又恰好是只吃右上角。同一句证明，两块巧克力，第一口不一样。

大卫·盖尔在 1974 年的《美国数学月刊》上发表了这个游戏和这段存在性证明。正方形上的镜像用到了额外的对称性，存在性证明本身不给出这一口。

六贯棋（Hex）把同一招反证法搬到了连通棋盘上。先看一眼图 6，认识一下这个规则极简却深不见底的棋盘：

图 6：六贯棋盘由正六边形格子拼成菱形（实战常用 11×11，左图画 5×5 便于看清）。蓝方执先，目标是把上下两条蓝岸连成不断开的桥；橙方执后，目标是把左右两条橙岸连成桥。右图总结约翰·纳什证明“先手必胜”的两步逻辑链。单独打开图片

双方轮流往空格放子，落子不移、也不吃子。为什么纳什（John Nash，约 1949 年）连一盘棋谱都不用算，就能断定任何尺寸的对称六贯棋都是先手必胜？需要扣紧两环（缺一环都不行）：

1. 第一环（多一子绝不吃亏 ⇒ 后手不可能有必胜法）：在六贯棋里，棋盘上白白多送你一枚自己的棋子，只会帮你搭桥，绝不会坏你的事。假如后手握有一本必胜秘籍，先手第一手随便瞎下一格，然后把那枚棋子当空气，假装自己是后手照抄秘籍（万一秘籍让你下在刚才那颗棋子上，就随便另挑一格空位下），就能把必胜秘籍原封不动偷过来！矛盾说明后手绝无必胜策略。
2. 第二环（为什么不会像井字棋那样只是“双方守和”？——六贯棋定理：绝无和棋！）：皮特·海因 1942 年发明六贯棋时就发现了图 6 右上的奇妙性质——哪怕乱下把整个棋盘填满，也必定恰好有一方连成了桥，绝不可能两家都没连上！ 最直观的想法人人能懂：把蓝格想成低洼河道，橙格想成高耸堤坝。从北岸往蓝格里灌水，如果水流到了南岸，蓝方已经赢了；如果水流不到南岸，水潭边缘挡住去路的那一圈陆地，必定是一道从西岸一直连到东岸、滴水不漏的橙色堤坝——那橙方就已经赢了！（大卫·盖尔在 1979 年严格证明，这条“不能和棋”在数学上等价于拓扑学里的布劳威尔不动点定理。）

“后手不可能必胜”加上“绝无和棋”，直接锁死先手必胜！但就像有毒巧克力一样，策略窃取只证明必胜走法存在，却半个字也不透露第一步该下哪儿——直到今天，标准 \(11\times 11\) 六贯棋依然没有任何人或计算机能写出完整的必胜应着表。

无禁手五子棋要再分一层。

棋盘可能下满仍没有五连，所以和棋存在。策略窃取在这里最多说明后手没有必胜策略，先手可能只是能守和。而且“多一子永远无害”依赖规则：长连也算赢时，多一枚自己的子不会毁掉自己的五连。必须恰好五子才算赢时，多一子可能把五连加成六连，胜负条件反而没了，窃取论证的前提就站不稳。

L. 维克托·阿利斯在 1994 年的博士论文里研究了这两种 15×15：长连算赢，以及双方都只有恰好五连才算赢。论文把它们当作已经解出的游戏；1993 年的会议摘要写明，执先的程序在对方最优应对下取胜。那是搜索证明，不是策略窃取单独给出的一句口号。连珠再给黑棋加上禁手，长连、双三、双四可以判黑负。多一枚黑子可能直接违规。阿利斯没有把职业连珠算进同一份已完成的证明。

国际象棋和围棋里，多走一步也可能害自己。单堆糖剩下 4 颗就是最小的样品：若允许弃权，轮到的人会选择不动，把必败格留给对方；规则强迫他拿 1 到 3 颗，他就输。这种“轮到谁走，谁就把局面走坏”的位置，象棋里叫做迫移。策略窃取要的那句“多一枚己方棋子绝不会更糟”，在这里不成立。

七、答案存在，不代表谁拿得出

有限步那条定理说的是：值已经确定。香农在 1950 年就把“从终局倒推，可以判断一个局面是胜、负还是和”写进了让计算机下国际象棋的论文，并立刻说明这条路走不通。

他用的是数量级，不是逐个点名。典型局面大约有 30 步合法着法。白方一步加黑方一步有 \(30\times 30=900\) 种，他粗算成大约 \(10^3\) 种。一盘大约 40 个来回，于是 \((10^3)^{40}=10^{120}\)。直接计算 \(30^{80}\)，大约是 \(10^{118.2}\)。两个数的差别，就是这回从 900 到 \(10^3\) 的舍入。他据此说，即便每微秒处理一条变化，算第一步也要超过 \(10^{90}\) 年。按他写下的 \(10^{120}\) 条、每微秒一条去除，大约是 \(3\times 10^{106}\) 年。两种写法都只说明：整棵树不能这么读。

他另外估计局面个数，用了一个摆放棋子的粗算式 \(64!/(32!(8!)^2(2!)^6)\)，说数量级大约是 \(10^{43}\)。把式子算完，大约是 \(4.6\times 10^{42}\)。这个式子没有排除王相邻、兵出现在不该在的横线、被将军等不合法局面。它不是合法局面的普查。

阿利斯在 1994 年用另一种估法：国际象棋平均分支因子取 35、平均长度取 80 手，博弈树大约 \(10^{123}\)；围棋平均分支因子取 250、平均长度取 150 手，大约 \(10^{360}\)。这是“典型长度的搜索树有多大”的估计。约翰·特龙普在 2016 年算的是另一件事：19 路围棋上，每一块棋都有气的合法局面，精确值约 \(2.082\times 10^{170}\)，一共 171 位。全部涂成黑、白或空的 \(3^{361}\) 大约是 \(10^{172}\)，其中大约 1.2% 合法。对局条数又是第三个数。非常长的对局会使它比 \(10^{360}\) 更大；特龙普给出的下界远高于这个典型树的估计。

可观测宇宙里的原子数目，用普朗克卫星 2015 年的宇宙学参数做换算，大约是 \(5\times 10^{79}\)，常被说成 \(10^{80}\) 量级。香农的 \(10^{120}\) 大约是它的 \(10^{40}\) 倍。两边都是数量级：一边是他假设的变化条数，一边是重子密度乘上可观测体积。即便原子数再差一两个数量级，也装不下那棵树。人和机器都不能靠“每个局面背一条应着”来下棋。

既然整棵树大到宇宙都装不下，计算机下棋怎么尽可能少看冤枉路？第一招基本功叫极小化极大（Minimax）与 α-β 剪枝。

先看懂什么叫“极小化极大”：搜到固定步数（叶子）后，给每个局面打一个评估分——约定分数越高对先手（MAX 方）越有利，分数越低对后手（MIN 方）越有利。往回倒推时，轮到后手走的那一层永远会挑最小分来坑你；轮到先手走的那一层则在后手留出的结果里挑最大分。

一旦明白“你挑大、他挑小”，α-β 剪枝的省力机关就一目了然了（看图 7）：

图 7：先看左支：两片叶子是 5 和 6，后手（MIN）会选较小的 5，于是先手手里至少握住了保底 5 分。接着看中支：第一片叶子刚翻开是 3，后手既然专挑更小的数，中支最终得分绝不可能超过 3（哪怕旁边没翻开的叶子是 100，后手也只会选 3 不会选 100！）。既然最多给 3 分，比手头的保底 5 分差，旁边的 7 当场剪掉免检！右支翻开 4 同理剪掉 9。单独打开图片

根上的 5 与“把六片叶子都读完再取最小、最大”的结果相同。改变的是读了几片。次序差，剪掉的就少。高德纳和摩尔在 1975 年分析了每次都先看对当前一方最有利的那一支：有效分支因子大约是原来的平方根。这是理想次序下的节省，不是每棵树都自动少看这么多。

还有一层限制。若叶子是下到固定深度后的估分，剪枝交回的是这些估分的结论。估分错了，根上也会错。坎贝尔、霍恩和许在描述深蓝时写的是带选择延伸的 α-β 搜索；相关报告里，它每步查看的局面大约是两百亿到四百亿。相对 \(10^{120}\)，这仍是树的一小角。

AlphaZero 走的是另一条路。西尔弗等人在 2018 年的论文里写明，它不用 α-β，而用神经网络引导的蒙特卡洛树搜索，网络由自我对弈训练。它也没有把整棵树存下来。少看的方式变了，值仍然不是靠背表得到的。

回到 6 颗糖。唯一的胜着是拿 2，留下 4。这一手本身只是把门打开。门后面的策略是：对方拿 1 你拿 3，对方拿 2 你拿 2，对方拿 3 你拿 1，直到 0。人们说的“神之一手”，若用这套定义，就是进入这样一个局面的那一步：从那里开始，无论对方怎么应，都还有一整套应对把它守住。

大棋盘上被叫做神之一手的棋，通常是另一回事。它在很深的计算里保持了好的估分，或者避开了一个当时没看见的坏变化。除非每一条防御都走到了真正的终局失败，它还不是 50 颗糖那种已经证完的必胜。开局的值可以已经确定，屋里的人仍然看不见那张表。人和机器比的，是在表上看不见的时候，还能不能少看一些、少看错一些。

参考资料与图解说明

配图与生成脚本 python tools/visuals.py build game-value 一并保存在仓库中。单堆 0 到 50、两堆 0 到 8、三堆 0 到 8 的完整倒推，井字棋全状态搜索，\(3\times 3\) 与 \(2\times 3\) 有毒巧克力及边长 2 到 4 的正方形镜像验证，\(5\times 5\) 六贯棋连通校验，以及 α-β 剪枝读叶顺序，均由该脚本自动断言核对（脚本用于保证图例数值无误，不替代正文中的一般性证明）。

• 启发来源：漫士《游戏背后的数学，如何在游戏中必胜？》。支持本文的问题线索：从终局倒推、两堆模仿、有毒巧克力和“开局已有定论”的讲法。文中的数值、历史界限和五子棋的证明类型，不把视频当作出处。
• 尼姆游戏：Bouton, Nim, a game with a complete mathematical theory，Annals of Mathematics，2nd series，第 3 卷（1901–1902），第 35–39 页。支持规则、二进制列和为偶数的安全组合、9／5／12 这个例子，以及“安全局面走不出安全局面、不安全局面总能走回安全局面”。
• 国际象棋的两个大数与倒推为何不实用：Shannon, Programming a Computer for Playing Chess，Philosophical Magazine 第 41 卷（1950），第 256–275 页。支持从终局倒推在原则上可以判定胜负和，五十步规则使对局结束，\(10^{120}\) 条变化，约 \(10^{43}\) 的局面粗算，以及每微秒一条仍要超过 \(10^{90}\) 年。正文另给了不舍入时的 \(30^{80}\) 和那个阶乘式的计算结果。
• 策梅洛、柯尼希、卡尔马各自证明到哪里：Schwalbe 与 Walker，Zermelo and the Early History of Game Theory。支持 1913 年论文允许无限对局、主要问题是获胜步数的上限、原文没有使用后来的逆向归纳，以及柯尼希 1927、卡尔马 1928/29 的分工。策梅洛原文为 Über eine Anwendung der Mengenlehre auf die Theorie des Schachspiels，第五届国际数学家大会论文集，剑桥大学出版社，1913，第 501–504 页。
• 有毒巧克力：Zeilberger 对盖尔证明的公开讲解，其中引用 Gale，A curious Nim-type game，American Mathematical Monthly 第 81 卷（1974），第 876–879 页。支持矩形上先手必胜的存在性证明，以及证明不指出第一口。正文的 \(3\times 3\)、\(2\times 3\) 和正方形镜像由脚本另算。
• 六贯棋不能和棋，以及先手胜却没有着法表：麻省理工学院 SP.268 讲义 Hex。支持策略窃取、多一子无害、不能和棋才把“后手不能胜”推进成“先手必胜”，以及 \(11\times 11\) 没有列全的策略。讲义将不能和棋与布劳威尔不动点定理的等价归于 Gale，The game of Hex and the Brouwer fixed-point theorem，American Mathematical Monthly 第 86 卷（1979），第 818–827 页。
• 15×15 五子棋：Allis，Searching for solutions in games and artificial intelligence，林堡大学博士论文，1994。支持 free-style（长连算赢）与 standard（恰好五连）的区分、多一子在 free-style 中无害、两种规则都被纳入解题，以及围棋 \(10^{360}\)（分支因子 250、约 150 手）和国际象棋 \(10^{123}\)（分支因子 35、约 80 手）这两份估计。执先必胜的程序结论，同时参看 Allis、van den Herik 与 Huntjens，Go-Moku solved by new search techniques，AAAI 技术报告 FS-93-02，1993。
• 围棋合法局面的精确个数：Tromp，Number of legal Go positions，2016 年 1 月 20 日公布的 \(L(19,19)\)。支持 171 位精确值、约 \(2.081681994\times 10^{170}\)，以及这是局面数而不是对局条数。计数方法见 Tromp 与 Farnebäck，Combinatorics of Go。
• α-β 在理想次序下的分支因子：Knuth 与 Moore，An analysis of alpha-beta pruning，Artificial Intelligence 第 6 卷（1975），第 293–326 页。支持理想着法次序下，有效分支因子大约是原分支因子的平方根。正文的六片叶子是单独构造的例子。
• 深蓝与 AlphaZero 的搜索不同：Campbell、Hoane 与 Hsu，Search control methods in Deep Blue。支持深蓝使用带选择延伸的 α-β，并且每步大约查看两百亿到四百亿个局面。系统总述见 Campbell、Hoane 与 Hsu，Deep Blue，Artificial Intelligence 第 134 卷（2002），第 57–83 页。Silver 等，Mastering chess and shogi by self-play，预印本；期刊版为 Science 第 362 卷（2018），第 1140–1144 页。支持 AlphaZero 使用蒙特卡洛树搜索，而不是 α-β。
• 原子数目的数量级：用普朗克 2015 年参数估计可观测宇宙原子数的计算。参数来自 Planck Collaboration，Planck 2015 results. XIII.，Astronomy & Astrophysics 第 594 卷，A13（2016），arXiv:1502.01589。支持大约 \(5\times 10^{79}\) 这一换算；正文只用它做数量级对照。