这是世界上增长最快的数列

两个小朋友比赛报大数，一个喊“一亿”，另一个喊“一亿个一亿”。如果升级成写数列比赛——给定第 \(n\) 项，比谁的数列往后长得更猛——光靠嗓门大就没用了，得先把比赛规则定死：

每一项都必须由一套事先写死的有限说明书（程序）算出来；而且对每一个正整数 \(n\)，这套说明书都必须在有限步之内停下，交出答案。 满足这一条的数列，数学上叫做可计算函数。

在这条看似宽容的规则里，平方 \(n^2\)、指数 \(2^n\)、阶乘 \(n!\)、高德纳上箭头，乃至大到宇宙装不下十进制位数的葛立恒序列，全都算得出——它们再巨大，也逃不出“有说明书能算完”的圈子。

真正站在圈外俯视所有对手的，是忙碌海狸步数数列 \(S(n)\)：它的每一项明明都是一个板上钉钉的有限正整数，世上却绝不存在任何一台计算机程序能把它的每一项算出来；而且无论你拿出哪一个可计算函数 \(f(n)\)，哪怕是葛立恒序列，从某一项往后，\(S(n)\) 都会把它永远踩在脚下。

这篇的由头是漫士 2026 年 4 月的视频《这是世界上增长最快的数列，不服来战》。下面的数值、图示和推理全部按原始定义重新核算与绘制，带你一步步从“能算出的大”走到“算不出的快”。

一、先把三种常规增长放在同一张台面上

取正整数 \(n\)。平方 \(n^2\) 代表多项式，\(2^n\) 代表指数，\(n!=1\times 2\times\cdots\times n\) 是阶乘。

图 1：左表列出 \(n=1\) 到 \(8\) 的精确值（\(n=4\) 起阶乘反超 \(2^n\)，\(n=5\) 起 \(2^n\) 反超平方）；右图用十进制对数坐标（纵轴表示数字大约有几百位）展示大尺度趋势——\(n^{100}\) 的位数增长越走越缓，而 \(2^n\) 的位数按固定斜率直线上升，从 \(n=997\) 起永久反超。单独打开图片

初学者常有一个错觉：“\(n^{100}\) 是一百次方，长得肯定比区区 \(2^n\) 猛吧？”前几百项确实如此（比如 \(n=10\) 时，\(10^{100}\) 是一后面一百个零，\(2^{10}\) 才 \(1024\)）。

但不用求导，光算一笔“每当 \(n\) 翻一倍会发生什么”就能看穿胜负：

• 当 \(n\) 从 \(500\) 翻倍到 \(1000\) 时，\(n^{100}\) 变成了 \((2n)^{100} = 2^{100}\cdot n^{100}\)，永远只是乘上固定的 \(2^{100}\) 倍；
• 而 \(2^n\) 从 \(2^{500}\) 变成 \(2^{1000}\)，是乘上了整整 \(2^{500}\) 倍！

两边较量的精确分水岭就在 \(n=996\) 与 \(997\) 之间：\(n=996\) 是 \(n^{100}\) 最后一次苦苦领先，从 \(n=997\) 起，\(2^n\) 一骑绝尘，再也不回头（图 1 右；若用微积分验证，\(\,n\ln 2 - 100\ln n\,\) 的导数 \(\ln 2 - 100/n\) 在 \(n>145\) 后恒正，跨过零点后单调递增）。不论你把固定次方改成一千次方还是一亿次方，指数迟早都会追上来。

而阶乘更快：从 \(n=4\)（\(24>16\)）起，\(n\) 每加 \(1\)，\(2^n\) 只乘 \(2\)，\(n!\) 却乘上越来越大的 \(n+1\)。但别急，在真正的大数面前，连阶乘都只是热身。

二、高德纳上箭头：把“重复”本身叠成幂塔

乘法是重复加法，乘方是重复乘法。1976 年，计算机科学家高德纳（Donald Knuth）干脆发明了一排向上的小箭头 \(\uparrow\)，专门用来一层层升级“重复”本身。

• 一支箭头就是普通乘方：\(a\uparrow b = a^b\)。
• 两支箭头是把乘方连着叠成一座“幂塔”：规定 \(a\uparrow\uparrow 1 = a\)，\(a\uparrow\uparrow(k+1) = a^{(a\uparrow\uparrow k)}\)。

这里有一条至关重要的铁律：幂塔必须从最顶层往下算！ 看图 2 左侧，同样只是三个 \(3\)，先后顺序一换，结果差出 3.8 亿倍：

图 2：左图对比三个 3 的两种结合方式——高德纳双箭头 \(3\uparrow\uparrow 3\) 从塔顶先算 \(3^3=27\)，再算 \(3^{27}\approx 7.63\) 万亿；右图展示多加一支箭头变成 \(3\uparrow\uparrow\uparrow 3\) 时，刚才算出的 \(7.63\) 万亿直接变成了新幂塔的层数！单独打开图片

• 若从底下先算：\((3^3)^3 = 27^3 = 19{,}683\)（其实只是 \(3^{3\times 3}=3^9\)）；
• 按箭头规则从塔顶先算：\(3\uparrow\uparrow 3 = 3^{(3^3)} = 3^{27} = 7{,}625{,}597{,}484{,}987\)，一下飙到 \(7.63\) 万亿！
• 再添第三支箭头呢？\(3\uparrow\uparrow\uparrow 3 = 3\uparrow\uparrow(3\uparrow\uparrow 3)\)——意思是叠一座底数全是 \(3\) 的幂塔，这座塔一共有 \(7{,}625{,}597{,}484{,}987\) 层高！

即便如此，只要箭头的支数事先固定（比如固定三支或十支），它的计算说明书依然只有短短几行。要想再猛一级，就得让“一共画几支箭头”本身跟着输入数字一起疯长。

三、阿克曼函数与葛立恒数：大到写不下，却依然“算得出”

1928 年，威廉·阿克曼（Wilhelm Ackermann）造出了这样一个“层数随输入自动升级”的函数，用来回答数理逻辑里的一个问题：如果写程序时只允许用“进循环前就已经算好循环次数”的规矩循环（数学上叫原始递归），能不能涵盖所有可计算函数？答案是不能——阿克曼函数比任何这类规矩循环都快，但它依然有明确的有限步计算规则。按罗莎·彼得简化后的二元形式写出来只有三行：

\[\begin{aligned} A(0,n) &= n+1,\\ A(m,0) &= A(m-1,1),\\ A(m,n) &= A(m-1, A(m,n-1))\quad (m>0,\, n>0). \end{aligned}\]

顺着规则手算几步就能感受到它的脾气：第 1 层 \(A(1,n)=n+2\) 只是加法；第 2 层 \(A(2,n)=2n+3\) 升级成乘法；第 3 层归纳可得 \(A(3,n)=2^{n+3}-3\)，升级成了指数；到了第 4 层，\(A(4,0)=13\)，\(A(4,1)=A(3,13)=2^{16}-3=65533\)，而 \(A(4,2)=A(3,65533)=2^{65536}-3\)——仅仅输入 \((4,2)\)，就已经撞出了一个近两万位的巨数！但它百分之百可计算：上面三行递推式就是一份绝不含糊的计算说明书。

鼎鼎大名的葛立恒数（Graham’s number）也住在这个层级里。它原本来自一道高维几何染色题：

• 先想二维正方形：4 个顶点两两连出 6 条线（4 条边 + 2 条对角线），全躺在同一个平面上；
• 再想三维正方体：8 个顶点两两连线，如果你拿红、蓝两支笔给所有连线涂色，能不能故意躲开，使得任何一个平面切出来的 4 个共面顶点（6 条连线）都不是同一种颜色？三维时确实能躲开！
• 1971 年，葛立恒与罗斯柴尔德证明：随着超立方体的维数 \(n\) 不断升高，顶点和切面越来越多，只要维数 \(n\) 足够大，无论你怎么涂色，必定会出现四个共面顶点，它们之间的 6 条连线全涂成了同一种颜色！

那么这个“足够大的维数”到底不超过多少？1977 年马丁·加德纳在《科学美国人》上介绍了葛立恒给出的一个方便讲解的上界 \(G\)（见图 2 右下）：先算四支箭头的 \(g_1 = 3\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 3\)；然后把 \(g_1\) 算出来的天文数字直接当成下一轮箭头的个数，去算 \(g_2 = 3\uparrow^{g_1} 3\)；如此“前一项的数值充当下一项的箭头支数”连套 64 轮，得到 \(G = g_{64}\)！（顺便说一句，这道几何题真正的最小维数其实远没那么夸张：2014 年拉夫罗夫等人已将上界压低到 \(2\uparrow\uparrow\uparrow 6\) 以内，而巴克利 2008 年证明下界至少为 \(13\)。）

葛立恒数给我们的核心启示是：一个数哪怕大到把可观测宇宙塞满墨水也写不完十进制展开，只要它有明确的有限步递推流程，它在可计算性眼里依然只是一个“老老实实算得出”的普通选手。

四、图灵机：一台 6 步停下，另一台永远不停

要想走出“可计算”的圈子，先得用最干净的模型把“什么是计算说明书”钉死——这就是 1936 年图灵提出的图灵机。

想象一条向左右两边无限延伸的格子纸带，起初每格都写着 0。一个读写头停在 0 号格上，脑子里只有有限个状态（比如 A、B），手里拿着一张死规矩表：看一眼脚下格子是 0 还是 1 → 改写成新数字 → 往左或往右挪一格 → 切换到下一个状态。一旦撞上“停机（H）”指令，机器就当场熄火。

哪怕只有 A、B 两个状态，也能跑出一场很有趣的折返跑。对照图 3 左边的状态圆圈，你可以用手指一步步跟完右边的 6 行纸带：

图 3：左图是这台两状态机器的全部 4 条指令；右图是它从全 0 纸带出发的完整运行记录（橙色方格表示该步结束时读写头停在哪一格）。动画橙框依次扫过 6 步并停在最后一行；减少动态效果时直接显示完整 6 步结果。单独打开图片，刷新可重播

• 第 1 步：状态 A 站在 0 号格读到 0 → 改写 1，右移到 +1 号格，切到状态 B；
• 第 2 步：状态 B 读到 0 → 改写 1，左移回 0 号格，切回状态 A；
• ……一路来回改写，到第 6 步状态 B 读到 1 时触发停机指令，一共走了 6 步，纸带上留下 4 个 1。

反过来，造一台“死循环机器”更容易：只要规定“状态 A 读到 0 时写 0、右移、继续保持状态 A”，它就会一路往右狂奔到地老天荒，永远不停。

对一两台小机器，人工盯几步就能看出它会不会停；可如果给你任意一台复杂的机器图纸，能不能写一个万能体检程序 \(H\)，不用傻等死循环，提前一眼断定它最终会不会停机？

五、停机问题：把“万能预言家”装进杠精机器里

艾伦·图灵（1936 年完稿、1937 年发表）给出的回答是：绝对不可能！ 这就是计算机科学最著名的地基定理——停机问题不可判定。

证明思路和康托尔的“对角线唱反调”一脉相承，看图 4 的电路流程就能一眼看穿矛盾：

图 4：反证法电路——假设真有万能停机判定器 \(H\)，我们在它外面套一层专门唱反调的对角机器 \(D\)（\(H\) 猜会停就死循环，\(H\) 猜不停就立刻刹车），然后把 \(D\) 自己的代码图纸 \(\langle D\rangle\) 喂给 \(D\) 自己。单独打开图片

1. 假设世上真有一台从不犯错的万能判定器 \(H\)：喂给它任何机器图纸和输入，它都能在有限步内回答“会停”或“永不停”。
2. 我们立刻把 \(H\) 当零件，组装一台专门抬杠的对角机器 \(D\)：把任意机器图纸喂给 \(D\) 时，\(D\) 先让内部的 \(H\) 预测“这台机器读到自己的图纸时会不会停？”——如果 \(H\) 答“会停”，\(D\) 就故意跳进死循环；如果 \(H\) 答“永不停”，\(D\) 就当场踩刹车停机。
3. 致命一击：把 \(D\) 自己的图纸 \(\langle D\rangle\) 喂给 \(D\)！
   • 若 \(H\) 预测“会停”，\(D\) 按电路规定立刻死循环——结果永不停机，打脸！
   • 若 \(H\) 预测“不停”，\(D\) 按电路规定当场停机——结果停了，还是打脸！

两条路全堵死，唯一的结论就是：从一开始就不可能存在通杀所有机器的停机判定器 \(H\)。（注意：这只否定“一套程序通判天下所有机器”，并不妨碍人类针对某几台具体的小机器，绞尽脑汁一台台分析清楚。）

六、忙碌海狸：有限名单里的最大步数，为什么算不出？

1962 年，蒂博尔·拉多把这个游戏写成两个函数。只考虑 \(n\) 个状态、符号只有 \(0\) 和 \(1\)、纸带开始全为 \(0\) 的图灵机。停机不算进那 \(n\) 个状态，它是“这条规则没有定义”。在所有最终会停的这类机器里：

• \(S(n)\) 是最长的步数，停机那一步也算；
• \(\Sigma(n)\) 是停机时纸带上最多能留下多少个 \(1\)。

步数冠军和“\(1\)”的冠军可以不是同一台机器。每写下一个还留到最后的 \(1\)，至少用了一步，所以 \(S(n)\ge \Sigma(n)\)。现在常把 \(S(n)\) 叫作 \(\mathrm{BB}(n)\)。拉多原文里，比赛的得分是 \(\Sigma\)，步数是伴随的另一个极值。本文的“忙碌海狸数列”指步数 \(S(n)\)，因为视频里的 \(1,6,21,107,47176870\) 正是这一列。

为什么每一项都是有限整数？\(n\) 个状态的机器只有有限台。其中至少有会停的，比如读到第一个 \(0\) 就停。会停的那些，每台的步数都是一个正整数。有限个正整数里有一个最大的。这个最大的就是 \(S(n)\)。存在，和“有一个程序能对每个 \(n\) 把它算出来”，是两件事。

\(n\)	\(S(n)\)	\(\Sigma(n)\)	步数的证明
1	1	1	直接检查
2	6	4	拉多，1962
3	21	6	Shen Lin，1963
4	107	13	布雷迪，1983
5	47,176,870	4,098	Coq 证明，2024 年宣布

五状态是四十年后第一次确定的新值。1989 年，海纳·马克森和于尔根·邦特罗克找到一台走了 \(47176870\) 步的机器，于是 \(S(5)\) 至少有这么大。2024 年 7 月 2 日，Busy Beaver Challenge 宣布这个下界就是准确值，证明由合作者 mxdys 用 Coq 写成。论文给出的未经对称化简的机器数是

\[(4n+1)^{2n}\Big|_{n=5}=21^{10}=16679880978201,\]

大约 \(1.668\times 10^{13}\)，也就是大约 \(16.7\) 万亿。每条规则有 \(4n\) 种“写哪个符号、往哪边走、进入哪个状态”，再加一种“不定义，读到就停”，五个状态各看 \(0\) 和 \(1\)，所以是 \(10\) 条规则。证明没有把这 \(16.7\) 万亿台都跑一遍。树状枚举丢掉走不到的规则和重复的状态编号之后，实际处理 \(181385789\) 台，并对每一台给出会停或永不停的证明。同一项工作还证明 \(\Sigma(5)=4098\)。

六状态的准确值仍未知。2022 年 5 月 30 日，帕维尔·克罗皮茨找到一台会停的六状态机器，步数超过一座 \(15\) 层的 \(10\) 的幂塔，也就是大于 \(10\uparrow\uparrow 15\)。2025 年 6 月，mxdys 找到更大的机器。2026 年 10 月底的忙碌海狸维基仍把这台列为步数纪录：超过 \(10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 8\) 这一量级，并写明还有数百台机器没有被判定是否停机。箭头从右边结合，所以这不是“四个 \(10\) 叠成的幂塔”，而是一座 \(10\) 的幂塔，塔的高度本身又是 \(10\uparrow\uparrow(10\uparrow\uparrow 8)\) 那个量级。维基给出的是近似下界，不是已经展开的十进制。另外，2024 年分离出来的一台名为 Antihydra 的机器，把“会不会停”绑在一个类似科拉茨猜想的问题上。要确定 \(S(6)\) 等于多少，至少得先解决这类问题。

七、为什么知道 \(S(27)\)，就会顺手解开哥德巴赫猜想？

哥德巴赫猜想说：每个大于 \(2\) 的偶数都是两个素数之和。它仍然没有被证明或推翻。斯科特·阿伦森在 2020 年的综述里记录了一台公开构造的 \(27\) 状态机器：它从空白纸带出发，逐个检查大于 \(2\) 的偶数，一旦找到不能写成两个素数之和的偶数就停机。因此，在这台机器确实做这件事的前提下，它停机当且仅当猜想为假。

若它会停，步数不超过 \(S(27)\)，因为 \(S(27)\) 是所有会停的 \(27\) 状态机器里的最大步数。于是原则上可以把它模拟 \(S(27)\) 步：中途停了，就找到反例；一步都没停，它就永远不会停，猜想为真。这不是一条可行的计算道路。\(S(5)\) 已经是四千多万步，\(S(6)\) 的已知下界都无法逐位写出，\(S(27)\) 只更大。

方向也只是单向的。知道 \(S(27)\)，就能判定这台机器，从而判定猜想。只证明猜想，给不出 \(S(27)\) 的数值，因为这个数还同时记下了其他所有 \(27\) 状态机器的最长运行。

黎曼猜想有一台类似的机器。尤里·马蒂亚塞维奇、斯特凡·奥雷尔和阿伦森给出一台 \(744\) 状态的机器，它停机当且仅当黎曼猜想为假。知道 \(S(744)\)，就能用同一种“模拟到上限”的办法判定它。同样，这是原则上的归约，不是计算方案。

八、为什么它最终能压过每一个算得出的函数？

先看一个较弱、但一眼能懂的事实：假如有一个可计算函数 \(f\)，对每个 \(n\) 都满足 \(f(n)\ge S(n)\)，那停机问题当场就被攻破了——拿到任意一台 \(n\) 状态的机器，只要老老实实模拟它跑 \(f(n)\) 步：中途停了就是会停；跑满 \(f(n)\) 步还没停，因为它已经超过了所有会停机器的最大步数 \(S(n)\)，就百分之百断定它永不停机！第五节已经证明这种万能判定器不存在，所以没有任何可计算函数能处处压住 \(S(n)\)。

要进一步证明“从某一项开始每一项都超过 \(f(n)\)（最终支配）”，只需要按阿伦森综述里的思路，像搭乐高一样串起一台三段式合成机器（图 5）：

图 5：上方把三个模块串成一台从全 0 空白纸带出发、且一定会停的图灵机；下方算状态账本——模块 B 的状态数 \(c\) 固定不变，模块 A 写下二进制 \(n\) 只需约 \(\log_2 n\) 个状态，因此当 \(n\) 足够大时，合成机器的总状态数 \(k(n)=c+O(\log_2 n)\) 远远小于配额 \(n\)。单独打开图片

对照图 5 算清这笔“状态账”：

1. 先把给定的可计算函数 \(f\) 垫成单调不减的 \(F(n)=\max\{f(0),f(1),\ldots,f(n)\}\)，它依然可计算，假设算出 \(F\) 的程序需要固定的 \(c\) 个状态（模块 B）。
2. 对任意正整数 \(n\)，我们在前面接一个写数器（模块 A）：在空白纸带上用二进制印出数字 \(n\)。关键在于——印出 \(n\) 并不需要 \(n\) 个状态，按二进制倍增写法，状态开销只随位数增长，大约只需 \(\log_2 n\) 个状态！
3. 等模块 B 算出巨大的目标值 \(F(n)\) 之后，后面接一个倒计时空转器（模块 C）：照着纸带上刚算好的 \(F(n)\)，故意原地多走超过 \(F(n)\) 步，然后稳稳停机。

这台合成机器一定会停，总步数严格大于 \(F(n)\)，而它一共只花了 \(k(n)=c+O(\log_2 n)\) 个状态。于是：

• 这台机器本身就是 \(k(n)\) 状态停机俱乐部的一员，冠军步数必然不输给它：\(S(k(n)) > F(n)\)；
• 状态越多，能跑出的最长步数只增不减（多给一个状态，至少能让原冠军临停前多迈一步）：只要 \(n\ge k(n)\)，就有 \(S(n)\ge S(k(n))\)；
• 当 \(n\) 足够大时，慢吞吞的对数 \(c+O(\log_2 n)\) 必然小于 \(n\)，整条不等式一气呵成：

\[S(n)\ge S(k(n))>F(n)\ge f(n).\]

哪怕你把 \(f(n)\) 换成刚才的葛立恒序列 \(g_n\)，它依然有一套固定状态数 \(c\) 的计算程序；因此照样存在一个门槛 \(N\)，跨过去之后，\(S(n)\) 每一项都把 \(g_n\) 甩在身后。

拉多在 1962 年原文里点破了最耐人寻味的一句话：\(S(n)\) 每一项之所以确实存在，仅仅用到了小学生都懂的“有限多个正整数里必有一个最大的”；可一旦你想对所有 \(n\) 把这个最大数挑出来，就撞上了停机问题筑起的高墙。

小结：读完可以带走的三句话

可计算函数没有“最快”的那一个。你写出 \(f\)，就有人能在 \(f\) 外面再套一层，得到一个仍然会停、但最终更快的函数。阿克曼函数就是沿着“层数跟着输入增加”做出的例子。

\(S(n)\) 把“层数”换成“所有 \(n\) 状态里最长的一次会停的运行”。因为会停的机器只有有限台，这个最大步数存在，而且是有限的。因为停机问题没有通用算法，没有任何可计算函数能从某一项开始一直压住它。

五状态的 \(47176870\) 说明：个别的项可以被证明出来，甚至可以用证明助手逐台核对。六状态已经同时碰上幂塔级的下界和尚未解决的类科拉茨问题。\(27\) 和 \(744\) 则说明，这些整数里编码着哥德巴赫猜想和黎曼猜想的真假，编码方式是一台具体机器会不会停。

参考资料

• 漫士：《这是世界上增长最快的数列，不服来战》，2026 年 4 月 30 日，Bilibili BV1cf9YBhET1。本文的问题来自这里；数值和定理以下列文献为准。
• Donald E. Knuth, “Mathematics and Computer Science: Coping with Finiteness”, Science 194 (1976), 1235–1242。上箭头的定义。
• Wilhelm Ackermann, “Zum Hilbertschen Aufbau der reellen Zahlen”, Mathematische Annalen 99 (1928), 118–133。可计算但极快的函数。二元形式是后来的整理，文中的小表和 \(A(3,n)=2^{n+3}-3\) 按该递推重新证明。
• R. L. Graham and B. L. Rothschild, “Ramsey’s Theorem for \(n\)-Parameter Sets”, Transactions of the American Mathematical Society 159 (1971), 257–292。维数足够大时单色共面四点存在。
• Martin Gardner, “Mathematical Games”, Scientific American 237, no. 5 (1977), 18–28。\(g_{64}\) 的普及定义。
• M. Lavrov, M. Lee, and J. Mackey, “Graham’s Number is Less Than \(2\uparrow\uparrow\uparrow 6\)”, arXiv:1304.6910，期刊版 European Journal of Combinatorics 42 (2014), 135–144。上界小于三支箭头的 \(2\uparrow\uparrow\uparrow 6\)。
• Jerome Barkley, “Improved lower bound on an Euclidean Ramsey problem”, arXiv:0811.1055。同一问题的下界 \(13\)。
• A. M. Turing, “On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem”, Proceedings of the London Mathematical Society (2) 42 (1936–37), 230–265。判定问题没有通解；正文里的停机表述是与之等价的现代说法。
• Tibor Radó, “On Non-Computable Functions”, Bell System Technical Journal 41 (1962), 877–884。\(\Sigma\) 与步数极值，以及它们最终超过可计算函数。
• Scott Aaronson, “The Busy Beaver Frontier”, SIGACT News 51, no. 3 (2020), 32–54。PDF。\(S(n)\) 最终支配每个可计算函数的构造、\(27\) 状态的哥德巴赫机器和 \(744\) 状态的黎曼机器。\(\Sigma(3)=6\)、\(\Sigma(4)=13\) 采用该综述所引的 Shen Lin 与布雷迪的结果。
• The bbchallenge Collaboration, “Determination of the fifth Busy Beaver value”, arXiv:2509.12337。2024 年 7 月 2 日宣布，Coq 证明 \(S(5)=47176870\)，并证明 \(\Sigma(5)=4098\)。机器计数 \(21^{10}=16679880978201\) 与枚举规模 \(181385789\) 都来自该文。
• Shawn Ligocki, “BB(6, 2) > \(10\uparrow\uparrow 15\)”, 2022 年 6 月 21 日，sligocki.com。克罗皮茨 2022 年 5 月 30 日那台六状态机器的下界。
• Busy Beaver Wiki, “BB(6)”，2026 年 10 月 30 日仍列出的纪录与未判定机器数，wiki.bbchallenge.org/wiki/BB(6)。\(10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 8\) 是该页给出的近似下界，不是已展开的十进制。

说明：文中的平方、阶乘、\(3^{27}\)、\(n^{100}\) 与 \(2^n\) 的反超点 \(n=997\)、阿克曼小表、两状态海狸的六步轨迹及 \(21^{10}\)，均由 python tools/visuals.py build busy-beaver 自动核算并生成对应原创 SVG；脚本校验不代替正文中“最终支配一切可计算函数”的一般性证明。